MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repsw2 Structured version   Unicode version

Theorem repsw2 12549
Description: The "repeated symbol word" of length 2. (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repsw2  |-  ( S  e.  V  ->  ( S repeatS  2 )  =  <" S S "> )

Proof of Theorem repsw2
StepHypRef Expression
1 df-s2 12474 . 2  |-  <" S S ">  =  (
<" S "> concat  <" S "> )
2 1nn0 10594 . . . 4  |-  1  e.  NN0
3 repswccat 12422 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  1  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  (
( S repeatS  1 ) concat 
( S repeatS  1 ) )  =  ( S repeatS 
( 1  +  1 ) ) )
42, 2, 3mp3an23 1306 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S repeatS  1 ) concat 
( S repeatS  1 ) )  =  ( S repeatS 
( 1  +  1 ) ) )
5 repsw1 12420 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  ( S repeatS  1 )  =  <" S "> )
65, 5oveq12d 6108 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S repeatS  1 ) concat 
( S repeatS  1 ) )  =  ( <" S "> concat  <" S "> ) )
7 1p1e2 10434 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
87a1i 11 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
98oveq2d 6106 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( S repeatS  ( 1  +  1 ) )  =  ( S repeatS  2 ) )
104, 6, 93eqtr3d 2482 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( <" S "> concat  <" S "> )  =  ( S repeatS  2 ) )
111, 10syl5req 2487 1  |-  ( S  e.  V  ->  ( S repeatS  2 )  =  <" S S "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6090   1c1 9282    + caddc 9284   2c2 10370   NN0cn0 10578   concat cconcat 12222   <"cs1 12223   repeatS creps 12227   <"cs2 12467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-hash 12103  df-concat 12230  df-s1 12231  df-reps 12235  df-s2 12474
This theorem is referenced by:  repsw3  12550
  Copyright terms: Public domain W3C validator