MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repsf Structured version   Unicode version

Theorem repsf 12530
Description: The constructed function mapping a half-open range of nonnegative integers to a constant is a function. (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repsf  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( S repeatS  N ) : ( 0..^ N ) --> V )

Proof of Theorem repsf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  S  e.  V )
21ralrimiva 2830 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  A. x  e.  ( 0..^ N ) S  e.  V )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  A. x  e.  (
0..^ N ) S  e.  V )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  |->  S )  =  ( x  e.  ( 0..^ N )  |->  S )
54fmpt 5974 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 0..^ N ) S  e.  V  <->  ( x  e.  ( 0..^ N ) 
|->  S ) : ( 0..^ N ) --> V )
63, 5sylib 196 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0..^ N )  |->  S ) : ( 0..^ N ) --> V )
7 reps 12527 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( S repeatS  N )  =  ( x  e.  ( 0..^ N ) 
|->  S ) )
87feq1d 5655 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( S repeatS  N
) : ( 0..^ N ) --> V  <->  ( x  e.  ( 0..^ N ) 
|->  S ) : ( 0..^ N ) --> V ) )
96, 8mpbird 232 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( S repeatS  N ) : ( 0..^ N ) --> V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   A.wral 2799    |-> cmpt 4459   -->wf 5523  (class class class)co 6201   0cc0 9394   NN0cn0 10691  ..^cfzo 11666   repeatS creps 12347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pr 4640
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-reps 12355
This theorem is referenced by:  repsw  12532  repswlen  12533  repswswrd  12541  repsco  12586
  Copyright terms: Public domain W3C validator