MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reparpht Structured version   Unicode version

Theorem reparpht 21476
Description: Reparametrization lemma. The reparametrization of a path by any continuous map  G : II --> II with  G
( 0 )  =  0 and  G ( 1 )  =  1 is path-homotopic to the original path. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reparpht.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
reparpht.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  II ) )
reparpht.4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  0 )
reparpht.5  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  1 )
Assertion
Ref Expression
reparpht  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) (  ~=ph  `  J
) F )

Proof of Theorem reparpht
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reparpht.3 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  II ) )
2 reparpht.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
3 cnco 19745 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  II )  /\  F  e.  ( II  Cn  J ) )  -> 
( F  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 reparpht.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  0 )
6 reparpht.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  1 )
7 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( ( 1  -  y )  x.  ( G `  x ) )  +  ( y  x.  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( ( 1  -  y )  x.  ( G `  x
) )  +  ( y  x.  x ) ) ) )
82, 1, 5, 6, 7reparphti 21475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( ( 1  -  y )  x.  ( G `  x )
)  +  ( y  x.  x ) ) ) )  e.  ( ( F  o.  G
) ( PHtpy `  J
) F ) )
9 ne0i 3776 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( ( 1  -  y
)  x.  ( G `
 x ) )  +  ( y  x.  x ) ) ) )  e.  ( ( F  o.  G ) ( PHtpy `  J ) F )  ->  (
( F  o.  G
) ( PHtpy `  J
) F )  =/=  (/) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G ) ( PHtpy `  J ) F )  =/=  (/) )
11 isphtpc 21472 . 2  |-  ( ( F  o.  G ) (  ~=ph  `  J ) F  <->  ( ( F  o.  G )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( ( F  o.  G )
( PHtpy `  J ) F )  =/=  (/) ) )
124, 2, 10, 11syl3anbrc 1181 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) (  ~=ph  `  J
) F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   (/)c0 3770   class class class wbr 4437    o. ccom 4993   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    - cmin 9810   [,]cicc 11543    Cn ccn 19703   IIcii 21357   PHtpycphtpy 21446    ~=ph cphtpc 21447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-ii 21359  df-htpy 21448  df-phtpy 21449  df-phtpc 21470
This theorem is referenced by:  pcopt  21500  pcopt2  21501  pcoass  21502
  Copyright terms: Public domain W3C validator