Theorem reofld 28603

Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reofld	|- RRfld e. oField

Proof of Theorem reofld

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 19187	. 2 |- RRfld e. Field
2		isfld 17984	. . . . 5 |- (RRfld e. Field <-> (RRfld e. DivRing /\ RRfld e. CRing ) )
3	2	simplbi 462	. . . 4 |- (RRfld e. Field -> RRfld e. DivRing )
4		drngring 17982	. . . 4 |- (RRfld e. DivRing -> RRfld e. Ring )
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 |- RRfld e. Ring
6		ringgrp 17785	. . . . 5 |- (RRfld e. Ring -> RRfld e. Grp )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- RRfld e. Grp
8		grpmnd 16678	. . . . . 6 |- (RRfld e. Grp -> RRfld e. Mnd )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 |- RRfld e. Mnd
10		retos 19186	. . . . 5 |- RRfld e. Toset
11		simpl 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ ( b e. RR /\ c e. RR /\ a <_ b ) ) -> a e. RR )
12		simpr1 1014	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ ( b e. RR /\ c e. RR /\ a <_ b ) ) -> b e. RR )
13		simpr2 1015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ ( b e. RR /\ c e. RR /\ a <_ b ) ) -> c e. RR )
14		simpr3 1016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ ( b e. RR /\ c e. RR /\ a <_ b ) ) -> a <_ b )
15	11, 12, 13, 14	leadd1dd 10227	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ ( b e. RR /\ c e. RR /\ a <_ b ) ) -> ( a + c ) <_ ( b + c ) )
16	15	3anassrs 1232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ c e. RR ) /\ a <_ b ) -> ( a + c ) <_ ( b + c ) )
17	16	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ c e. RR ) -> ( a <_ b -> ( a + c ) <_ ( b + c ) ) )
18	17	3impa 1203	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ c e. RR ) -> ( a <_ b -> ( a + c ) <_ ( b + c ) ) )
19	18	rgen3 2814	. . . . 5 |- A. a e. RR A. b e. RR A. c e. RR ( a <_ b -> ( a + c ) <_ ( b + c ) )
20		rebase 19174	. . . . . 6 |- RR = ( Base ` RRfld )
21		replusg 19178	. . . . . 6 |- + = ( +g ` RRfld )
22		rele2 19182	. . . . . 6 |- <_ = ( le ` RRfld )
23	20, 21, 22	isomnd 28464	. . . . 5 |- (RRfld e. oMnd <-> (RRfld e. Mnd /\ RRfld e. Toset /\ A. a e. RR A. b e. RR A. c e. RR ( a <_ b -> ( a + c ) <_ ( b + c ) ) ) )
24	9, 10, 19, 23	mpbir3an 1190	. . . 4 |- RRfld e. oMnd
25		isogrp 28465	. . . 4 |- (RRfld e. oGrp <-> (RRfld e. Grp /\ RRfld e. oMnd ) )
26	7, 24, 25	mpbir2an 931	. . 3 |- RRfld e. oGrp
27		mulge0 10132	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. RR /\ 0 <_ a ) /\ ( b e. RR /\ 0 <_ b ) ) -> 0 <_ ( a x. b ) )
28	27	an4s 835	. . . . 5 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( 0 <_ a /\ 0 <_ b ) ) -> 0 <_ ( a x. b ) )
29	28	ex 436	. . . 4 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( 0 <_ a /\ 0 <_ b ) -> 0 <_ ( a x. b ) ) )
30	29	rgen2a 2815	. . 3 |- A. a e. RR A. b e. RR ( ( 0 <_ a /\ 0 <_ b ) -> 0 <_ ( a x. b ) )
31		re0g 19180	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` RRfld )
32		remulr 19179	. . . 4 |- x. = ( .r ` RRfld )
33	20, 31, 32, 22	isorng 28562	. . 3 |- (RRfld e. oRing <-> (RRfld e. Ring /\ RRfld e. oGrp /\ A. a e. RR A. b e. RR ( ( 0 <_ a /\ 0 <_ b ) -> 0 <_ ( a x. b ) ) ) )
34	5, 26, 30, 33	mpbir3an 1190	. 2 |- RRfld e. oRing
35		isofld 28565	. 2 |- (RRfld e. oField <-> (RRfld e. Field /\ RRfld e. oRing ) )
36	1, 34, 35	mpbir2an 931	1 |- RRfld e. oField

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   e. wcel 1887   A.wral 2737   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   x. cmul 9544   <_ cle 9676  Tosetctos 16279   Mndcmnd 16535   Grpcgrp 16669   Ringcrg 17780   CRingccrg 17781   DivRingcdr 17975  Fieldcfield 17976  RRfldcrefld 19172  oMndcomnd 28460  oGrpcogrp 28461  oRingcorng 28558  oFieldcofld 28559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-0g 15340  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-toset 16280  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-subg 16814  df-cmn 17432  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-field 17978  df-subrg 18006  df-cnfld 18971  df-refld 19173  df-omnd 28462  df-ogrp 28463  df-orng 28560  df-ofld 28561

This theorem is referenced by:  nn0omnd  28604  rearchi  28605  rerrext  28813  cnrrext  28814