Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reofld Structured version   Unicode version

Theorem reofld 28596
Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
reofld  |- RRfld  e. oField

Proof of Theorem reofld
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refld 19171 . 2  |- RRfld  e. Field
2 isfld 17969 . . . . 5  |-  (RRfld  e. Field  <->  (RRfld  e.  DivRing  /\ RRfld  e.  CRing ) )
32simplbi 461 . . . 4  |-  (RRfld  e. Field  -> RRfld  e.  DivRing )
4 drngring 17967 . . . 4  |-  (RRfld  e.  DivRing  -> RRfld 
e.  Ring )
51, 3, 4mp2b 10 . . 3  |- RRfld  e.  Ring
6 ringgrp 17770 . . . . 5  |-  (RRfld  e.  Ring 
-> RRfld  e.  Grp )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |- RRfld  e.  Grp
8 grpmnd 16663 . . . . . 6  |-  (RRfld  e.  Grp  -> RRfld  e.  Mnd )
97, 8ax-mp 5 . . . . 5  |- RRfld  e.  Mnd
10 retos 19170 . . . . 5  |- RRfld  e. Toset
11 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  a  e.  RR )
12 simpr1 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  b  e.  RR )
13 simpr2 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  c  e.  RR )
14 simpr3 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  a  <_  b
)
1511, 12, 13, 14leadd1dd 10227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  ( a  +  c )  <_  (
b  +  c ) )
16153anassrs 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  c  e.  RR )  /\  a  <_  b )  ->  (
a  +  c )  <_  ( b  +  c ) )
1716ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  c  e.  RR )  ->  ( a  <_ 
b  ->  ( a  +  c )  <_ 
( b  +  c ) ) )
18173impa 1200 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  (
a  <_  b  ->  ( a  +  c )  <_  ( b  +  c ) ) )
1918rgen3 2851 . . . . 5  |-  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  A. c  e.  RR  ( a  <_ 
b  ->  ( a  +  c )  <_ 
( b  +  c ) )
20 rebase 19158 . . . . . 6  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
21 replusg 19162 . . . . . 6  |-  +  =  ( +g  ` RRfld )
22 rele2 19166 . . . . . 6  |-  <_  =  ( le ` RRfld )
2320, 21, 22isomnd 28456 . . . . 5  |-  (RRfld  e. oMnd  <->  (RRfld  e.  Mnd  /\ RRfld  e. Toset  /\  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  A. c  e.  RR  ( a  <_ 
b  ->  ( a  +  c )  <_ 
( b  +  c ) ) ) )
249, 10, 19, 23mpbir3an 1187 . . . 4  |- RRfld  e. oMnd
25 isogrp 28457 . . . 4  |-  (RRfld  e. oGrp  <->  (RRfld  e.  Grp  /\ RRfld  e. oMnd ) )
267, 24, 25mpbir2an 928 . . 3  |- RRfld  e. oGrp
27 mulge0 10132 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  0  <_  a )  /\  ( b  e.  RR  /\  0  <_  b )
)  ->  0  <_  ( a  x.  b ) )
2827an4s 833 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
a  /\  0  <_  b ) )  ->  0  <_  ( a  x.  b
) )
2928ex 435 . . . 4  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_ 
a  /\  0  <_  b )  ->  0  <_  ( a  x.  b ) ) )
3029rgen2a 2852 . . 3  |-  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  ( ( 0  <_  a  /\  0  <_  b )  ->  0  <_  ( a  x.  b
) )
31 re0g 19164 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` RRfld )
32 remulr 19163 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` RRfld )
3320, 31, 32, 22isorng 28555 . . 3  |-  (RRfld  e. oRing  <->  (RRfld  e.  Ring  /\ RRfld  e. oGrp  /\  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  ( ( 0  <_  a  /\  0  <_  b )  ->  0  <_  ( a  x.  b
) ) ) )
345, 26, 30, 33mpbir3an 1187 . 2  |- RRfld  e. oRing
35 isofld 28558 . 2  |-  (RRfld  e. oField  <->  (RRfld  e. Field  /\ RRfld  e. oRing ) )
361, 34, 35mpbir2an 928 1  |- RRfld  e. oField
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1868   A.wral 2775   class class class wbr 4420  (class class class)co 6301   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    x. cmul 9544    <_ cle 9676  Tosetctos 16264   Mndcmnd 16520   Grpcgrp 16654   Ringcrg 17765   CRingccrg 17766   DivRingcdr 17960  Fieldcfield 17961  RRfldcrefld 19156  oMndcomnd 28452  oGrpcogrp 28453  oRingcorng 28551  oFieldcofld 28552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-tpos 6977  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-0g 15325  df-preset 16158  df-poset 16176  df-plt 16189  df-toset 16265  df-ps 16431  df-tsr 16432  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-subg 16799  df-cmn 17417  df-mgp 17709  df-ur 17721  df-ring 17767  df-cring 17768  df-oppr 17836  df-dvdsr 17854  df-unit 17855  df-invr 17885  df-dvr 17896  df-drng 17962  df-field 17963  df-subrg 17991  df-cnfld 18956  df-refld 19157  df-omnd 28454  df-ogrp 28455  df-orng 28553  df-ofld 28554
This theorem is referenced by:  nn0omnd  28597  rearchi  28598  rerrext  28806  cnrrext  28807
  Copyright terms: Public domain W3C validator