Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reofld Structured version   Unicode version

Theorem reofld 28065
Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
reofld  |- RRfld  e. oField

Proof of Theorem reofld
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refld 18828 . 2  |- RRfld  e. Field
2 isfld 17600 . . . . 5  |-  (RRfld  e. Field  <->  (RRfld  e.  DivRing  /\ RRfld  e.  CRing ) )
32simplbi 458 . . . 4  |-  (RRfld  e. Field  -> RRfld  e.  DivRing )
4 drngring 17598 . . . 4  |-  (RRfld  e.  DivRing  -> RRfld 
e.  Ring )
51, 3, 4mp2b 10 . . 3  |- RRfld  e.  Ring
6 ringgrp 17398 . . . . 5  |-  (RRfld  e.  Ring 
-> RRfld  e.  Grp )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |- RRfld  e.  Grp
8 grpmnd 16261 . . . . . 6  |-  (RRfld  e.  Grp  -> RRfld  e.  Mnd )
97, 8ax-mp 5 . . . . 5  |- RRfld  e.  Mnd
10 retos 18827 . . . . 5  |- RRfld  e. Toset
11 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  a  e.  RR )
12 simpr1 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  b  e.  RR )
13 simpr2 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  c  e.  RR )
14 simpr3 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  a  <_  b
)
1511, 12, 13, 14leadd1dd 10162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  ( a  +  c )  <_  (
b  +  c ) )
16153anassrs 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  c  e.  RR )  /\  a  <_  b )  ->  (
a  +  c )  <_  ( b  +  c ) )
1716ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  c  e.  RR )  ->  ( a  <_ 
b  ->  ( a  +  c )  <_ 
( b  +  c ) ) )
18173impa 1189 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  (
a  <_  b  ->  ( a  +  c )  <_  ( b  +  c ) ) )
1918rgen3 2880 . . . . 5  |-  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  A. c  e.  RR  ( a  <_ 
b  ->  ( a  +  c )  <_ 
( b  +  c ) )
20 rebase 18815 . . . . . 6  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
21 replusg 18819 . . . . . 6  |-  +  =  ( +g  ` RRfld )
22 rele2 18823 . . . . . 6  |-  <_  =  ( le ` RRfld )
2320, 21, 22isomnd 27925 . . . . 5  |-  (RRfld  e. oMnd  <->  (RRfld  e.  Mnd  /\ RRfld  e. Toset  /\  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  A. c  e.  RR  ( a  <_ 
b  ->  ( a  +  c )  <_ 
( b  +  c ) ) ) )
249, 10, 19, 23mpbir3an 1176 . . . 4  |- RRfld  e. oMnd
25 isogrp 27926 . . . 4  |-  (RRfld  e. oGrp  <->  (RRfld  e.  Grp  /\ RRfld  e. oMnd ) )
267, 24, 25mpbir2an 918 . . 3  |- RRfld  e. oGrp
27 mulge0 10066 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  0  <_  a )  /\  ( b  e.  RR  /\  0  <_  b )
)  ->  0  <_  ( a  x.  b ) )
2827an4s 824 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
a  /\  0  <_  b ) )  ->  0  <_  ( a  x.  b
) )
2928ex 432 . . . 4  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_ 
a  /\  0  <_  b )  ->  0  <_  ( a  x.  b ) ) )
3029rgen2a 2881 . . 3  |-  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  ( ( 0  <_  a  /\  0  <_  b )  ->  0  <_  ( a  x.  b
) )
31 re0g 18821 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` RRfld )
32 remulr 18820 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` RRfld )
3320, 31, 32, 22isorng 28024 . . 3  |-  (RRfld  e. oRing  <->  (RRfld  e.  Ring  /\ RRfld  e. oGrp  /\  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  ( ( 0  <_  a  /\  0  <_  b )  ->  0  <_  ( a  x.  b
) ) ) )
345, 26, 30, 33mpbir3an 1176 . 2  |- RRfld  e. oRing
35 isofld 28027 . 2  |-  (RRfld  e. oField  <->  (RRfld  e. Field  /\ RRfld  e. oRing ) )
361, 34, 35mpbir2an 918 1  |- RRfld  e. oField
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823   A.wral 2804   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618  Tosetctos 15862   Mndcmnd 16118   Grpcgrp 16252   Ringcrg 17393   CRingccrg 17394   DivRingcdr 17591  Fieldcfield 17592  RRfldcrefld 18813  oMndcomnd 27921  oGrpcogrp 27922  oRingcorng 28020  oFieldcofld 28021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-0g 14931  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-toset 15863  df-ps 16029  df-tsr 16030  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-subg 16397  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-field 17594  df-subrg 17622  df-cnfld 18616  df-refld 18814  df-omnd 27923  df-ogrp 27924  df-orng 28022  df-ofld 28023
This theorem is referenced by:  nn0omnd  28066  rearchi  28067  rerrext  28224  cnrrext  28225
  Copyright terms: Public domain W3C validator