Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reofld Structured version   Unicode version

Theorem reofld 26448
Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
reofld  |- RRfld  e. oField

Proof of Theorem reofld
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refld 18169 . . 3  |- RRfld  e. Field
2 isfld 16959 . . . . . . 7  |-  (RRfld  e. Field  <->  (RRfld  e.  DivRing  /\ RRfld  e.  CRing ) )
32simplbi 460 . . . . . 6  |-  (RRfld  e. Field  -> RRfld  e.  DivRing )
4 drngrng 16957 . . . . . 6  |-  (RRfld  e.  DivRing  -> RRfld 
e.  Ring )
51, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |- RRfld  e.  Ring
6 rnggrp 16768 . . . . . . . 8  |-  (RRfld  e.  Ring 
-> RRfld  e.  Grp )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |- RRfld  e.  Grp
8 grpmnd 15664 . . . . . . . . . 10  |-  (RRfld  e.  Grp  -> RRfld  e.  Mnd )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e.  Mnd
10 retos 18168 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e. Toset
11 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  a  e.  RR )
12 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  b  e.  RR )
13 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  c  e.  RR )
14 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  a  <_  b
)
1511, 12, 13, 14leadd1dd 10059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( b  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  a  <_  b ) )  ->  ( a  +  c )  <_  (
b  +  c ) )
16153anassrs 1210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  c  e.  RR )  /\  a  <_  b )  ->  (
a  +  c )  <_  ( b  +  c ) )
1716ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  c  e.  RR )  ->  ( a  <_ 
b  ->  ( a  +  c )  <_ 
( b  +  c ) ) )
18173impa 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  (
a  <_  b  ->  ( a  +  c )  <_  ( b  +  c ) ) )
1918rgen3 2913 . . . . . . . . 9  |-  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  A. c  e.  RR  ( a  <_ 
b  ->  ( a  +  c )  <_ 
( b  +  c ) )
209, 10, 193pm3.2i 1166 . . . . . . . 8  |-  (RRfld  e.  Mnd  /\ RRfld  e. Toset  /\  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  A. c  e.  RR  ( a  <_ 
b  ->  ( a  +  c )  <_ 
( b  +  c ) ) )
21 rebase 18156 . . . . . . . . 9  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
22 replusg 18160 . . . . . . . . 9  |-  +  =  ( +g  ` RRfld )
23 rele2 18164 . . . . . . . . 9  |-  <_  =  ( le ` RRfld )
2421, 22, 23isomnd 26304 . . . . . . . 8  |-  (RRfld  e. oMnd  <->  (RRfld  e.  Mnd  /\ RRfld  e. Toset  /\  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  A. c  e.  RR  ( a  <_ 
b  ->  ( a  +  c )  <_ 
( b  +  c ) ) ) )
2520, 24mpbir 209 . . . . . . 7  |- RRfld  e. oMnd
267, 25pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  (RRfld  e.  Grp  /\ RRfld  e. oMnd )
27 isogrp 26305 . . . . . 6  |-  (RRfld  e. oGrp  <->  (RRfld  e.  Grp  /\ RRfld  e. oMnd ) )
2826, 27mpbir 209 . . . . 5  |- RRfld  e. oGrp
29 mulge0 9963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  0  <_  a )  /\  ( b  e.  RR  /\  0  <_  b )
)  ->  0  <_  ( a  x.  b ) )
3029an4s 822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
a  /\  0  <_  b ) )  ->  0  <_  ( a  x.  b
) )
3130ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_ 
a  /\  0  <_  b )  ->  0  <_  ( a  x.  b ) ) )
3231rgen2a 2894 . . . . 5  |-  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  ( ( 0  <_  a  /\  0  <_  b )  ->  0  <_  ( a  x.  b
) )
335, 28, 323pm3.2i 1166 . . . 4  |-  (RRfld  e.  Ring  /\ RRfld  e. oGrp  /\  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  ( ( 0  <_  a  /\  0  <_  b )  ->  0  <_  ( a  x.  b
) ) )
34 re0g 18162 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g ` RRfld )
35 remulr 18161 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` RRfld )
3621, 34, 35, 23isorng 26407 . . . 4  |-  (RRfld  e. oRing  <->  (RRfld  e.  Ring  /\ RRfld  e. oGrp  /\  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  ( ( 0  <_  a  /\  0  <_  b )  ->  0  <_  ( a  x.  b
) ) ) )
3733, 36mpbir 209 . . 3  |- RRfld  e. oRing
381, 37pm3.2i 455 . 2  |-  (RRfld  e. Field  /\ RRfld  e. oRing )
39 isofld 26410 . 2  |-  (RRfld  e. oField  <->  (RRfld  e. Field  /\ RRfld  e. oRing ) )
4038, 39mpbir 209 1  |- RRfld  e. oField
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   A.wral 2796   class class class wbr 4395  (class class class)co 6195   RRcr 9387   0cc0 9388    + caddc 9391    x. cmul 9393    <_ cle 9525  Tosetctos 15317   Mndcmnd 15523   Grpcgrp 15524   Ringcrg 16763   CRingccrg 16764   DivRingcdr 16950  Fieldcfield 16951  RRfldcrefld 18154  oMndcomnd 26300  oGrpcogrp 26301  oRingcorng 26403  oFieldcofld 26404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-0g 14494  df-poset 15230  df-plt 15242  df-toset 15318  df-ps 15484  df-tsr 15485  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-subg 15792  df-cmn 16395  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-cring 16766  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-dvr 16893  df-drng 16952  df-field 16953  df-subrg 16981  df-cnfld 17939  df-refld 18155  df-omnd 26302  df-ogrp 26303  df-orng 26405  df-ofld 26406
This theorem is referenced by:  nn0omnd  26449  rearchi  26450  rerrext  26578  cnrrext  26579
  Copyright terms: Public domain W3C validator