MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renfdisj Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem renfdisj 9699
Description: The reals and the infinities are disjoint. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renfdisj  |-  ( RR 
i^i  { +oo , -oo } )  =  (/)

Proof of Theorem renfdisj
StepHypRef Expression
1 disj 3807 . 2  |-  ( ( RR  i^i  { +oo , -oo } )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  RR  -.  x  e.  { +oo , -oo } )
2 renepnf 9693 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  x  =/= +oo )
3 renemnf 9694 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  x  =/= -oo )
42, 3nelprd 3991 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  e.  { +oo , -oo } )
51, 4mprgbir 2754 1  |-  ( RR 
i^i  { +oo , -oo } )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1446    e. wcel 1889    i^i cin 3405   (/)c0 3733   {cpr 3972   RRcr 9543   +oocpnf 9677   -oocmnf 9678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-resscn 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683
This theorem is referenced by:  ssxr  9708
  Copyright terms: Public domain W3C validator