MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renepnf Structured version   Unicode version

Theorem renepnf 9670
Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renepnf  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/= +oo )

Proof of Theorem renepnf
StepHypRef Expression
1 pnfnre 9664 . . . 4  |- +oo  e/  RR
21neli 2738 . . 3  |-  -. +oo  e.  RR
3 eleq1 2474 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  ( A  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
42, 3mtbiri 301 . 2  |-  ( A  = +oo  ->  -.  A  e.  RR )
54necon2ai 2638 1  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/= +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   RRcr 9520   +oocpnf 9654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-uni 4191  df-pnf 9659
This theorem is referenced by:  renepnfd  9673  renfdisj  9676  xrnepnf  11381  rexneg  11462  rexadd  11483  xaddnepnf  11486  xaddcom  11489  xaddid1  11490  xnegdi  11492  xpncan  11495  xleadd1a  11497  rexmul  11515  xmulpnf1  11518  xadddilem  11538  rpsup  12029  hashneq0  12480  hash1snb  12526  xrsnsgrp  18772  xaddeq0  28000  icorempt2  31255  ovoliunnfl  31408  voliunnfl  31410  volsupnfl  31411
  Copyright terms: Public domain W3C validator