MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renemnf Structured version   Unicode version

Theorem renemnf 9696
Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renemnf  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 9690 . . . 4  |- -oo  e/  RR
21neli 2756 . . 3  |-  -. -oo  e.  RR
3 eleq1 2495 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  ( A  e.  RR  <-> -oo  e.  RR ) )
42, 3mtbiri 304 . 2  |-  ( A  = -oo  ->  -.  A  e.  RR )
54necon2ai 2655 1  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/= -oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   RRcr 9545   -oocmnf 9680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685
This theorem is referenced by:  renemnfd  9699  renfdisj  9701  xrnemnf  11426  rexneg  11511  rexadd  11532  xaddnemnf  11534  xaddcom  11538  xaddid1  11539  xnegdi  11541  xpncan  11544  xleadd1a  11546  rexmul  11564  xadddilem  11587  xrs1mnd  19005  xrs10  19006  isxmet2d  21340  imasdsf1olem  21386  xaddeq0  28336  icorempt2  31718  infrpge  37528
  Copyright terms: Public domain W3C validator