MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renemnf Structured version   Unicode version

Theorem renemnf 9674
Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renemnf  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 9668 . . . 4  |- -oo  e/  RR
21neli 2741 . . 3  |-  -. -oo  e.  RR
3 eleq1 2476 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  ( A  e.  RR  <-> -oo  e.  RR ) )
42, 3mtbiri 303 . 2  |-  ( A  = -oo  ->  -.  A  e.  RR )
54necon2ai 2640 1  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/= -oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   RRcr 9523   -oocmnf 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663
This theorem is referenced by:  renemnfd  9677  renfdisj  9679  xrnemnf  11383  rexneg  11465  rexadd  11486  xaddnemnf  11488  xaddcom  11492  xaddid1  11493  xnegdi  11495  xpncan  11498  xleadd1a  11500  rexmul  11518  xadddilem  11541  xrs1mnd  18778  xrs10  18779  isxmet2d  21124  imasdsf1olem  21170  xaddeq0  28027  icorempt2  31281
  Copyright terms: Public domain W3C validator