MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Structured version   Unicode version

Theorem renegcl 9660
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3829 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9658, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9590 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  ->  -u A  =  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 ) )
21eleq1d 2499 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  -> 
( -u A  e.  RR  <->  -u if ( A  e.  RR ,  A , 
1 )  e.  RR ) )
3 1re 9373 . . . 4  |-  1  e.  RR
43elimel 3840 . . 3  |-  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
54renegcli 9658 . 2  |-  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
62, 5dedth 3829 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   ifcif 3779   RRcr 9269   1c1 9271   -ucneg 9584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-ltxr 9411  df-sub 9585  df-neg 9586
This theorem is referenced by:  resubcl  9661  negreb  9662  renegcld  9763  ltnegcon1  9828  ltnegcon2  9829  lenegcon1  9831  lenegcon2  9832  mullt0  9847  mulge0b  10187  mulle0b  10188  infm3lem  10276  infm3  10277  riotaneg  10293  infmrcl  10297  elnnz  10644  btwnz  10732  ublbneg  10927  negn0  10929  supminf  10930  uzwo3  10936  zmax  10938  rebtwnz  10940  rpneg  11008  max0sub  11154  xnegcl  11171  xnegneg  11172  xltnegi  11174  rexsub  11191  xnegid  11194  xnegdi  11199  xpncan  11202  xnpcan  11203  xadddi  11246  iooneg  11392  iccneg  11393  icoshftf1o  11395  dfceil2  11664  ceicl  11666  ceige  11668  ceim1l  11670  negmod0  11700  crim  12588  cnpart  12713  sqrneglem  12740  absnid  12771  max0add  12783  absdiflt  12789  absdifle  12790  sqreulem  12831  resinhcl  13423  rpcoshcl  13424  tanhlt1  13427  tanhbnd  13428  remulg  17879  resubdrg  17880  cnheiborlem  20368  evth2  20374  ismbf3d  20974  mbfinf  20985  itgconst  21138  reeff1o  21797  atanbnd  22206  readdsubgo  23663  negelrp  25862  sgnneg  26771  ltflcei  28263  cos2h  28267  iblabsnclem  28299  ftc1anclem1  28311  areacirclem2  28329  areacirclem3  28330  areacirc  28333  mulltgt0  29589  stoweidlem10  29651
  Copyright terms: Public domain W3C validator