MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Structured version   Unicode version

Theorem renegcl 9878
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3991 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9876, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9808 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  ->  -u A  =  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 ) )
21eleq1d 2536 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  -> 
( -u A  e.  RR  <->  -u if ( A  e.  RR ,  A , 
1 )  e.  RR ) )
3 1re 9591 . . . 4  |-  1  e.  RR
43elimel 4002 . . 3  |-  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
54renegcli 9876 . 2  |-  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
62, 5dedth 3991 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   RRcr 9487   1c1 9489   -ucneg 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804
This theorem is referenced by:  resubcl  9879  negreb  9880  renegcld  9982  ltnegcon1  10049  ltnegcon2  10050  lenegcon1  10052  lenegcon2  10053  mullt0  10068  mulge0b  10408  mulle0b  10409  infm3lem  10497  infm3  10498  riotaneg  10514  infmrcl  10518  elnnz  10870  btwnz  10959  ublbneg  11162  negn0  11164  supminf  11165  uzwo3  11173  zmax  11175  rebtwnz  11177  rpneg  11245  max0sub  11391  xnegcl  11408  xnegneg  11409  xltnegi  11411  rexsub  11428  xnegid  11431  xnegdi  11436  xpncan  11439  xnpcan  11440  xadddi  11483  iooneg  11636  iccneg  11637  icoshftf1o  11639  dfceil2  11932  ceicl  11934  ceige  11936  ceim1l  11938  negmod0  11968  crim  12907  cnpart  13032  sqrtneglem  13059  absnid  13090  max0add  13102  absdiflt  13109  absdifle  13110  sqreulem  13151  resinhcl  13748  rpcoshcl  13749  tanhlt1  13752  tanhbnd  13753  remulg  18410  resubdrg  18411  cnheiborlem  21189  evth2  21195  ismbf3d  21796  mbfinf  21807  itgconst  21960  reeff1o  22576  atanbnd  22985  readdsubgo  25031  negelrp  27232  sgnneg  28119  ltflcei  29620  cos2h  29623  iblabsnclem  29655  ftc1anclem1  29667  areacirclem2  29685  areacirclem3  29686  areacirc  29689  mulltgt0  30975  limsupre  31183  stoweidlem10  31310  fourierdlem39  31446
  Copyright terms: Public domain W3C validator