MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Structured version   Unicode version

Theorem renegcl 9675
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3844 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9673, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9605 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  ->  -u A  =  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 ) )
21eleq1d 2509 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  -> 
( -u A  e.  RR  <->  -u if ( A  e.  RR ,  A , 
1 )  e.  RR ) )
3 1re 9388 . . . 4  |-  1  e.  RR
43elimel 3855 . . 3  |-  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
54renegcli 9673 . 2  |-  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
62, 5dedth 3844 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3794   RRcr 9284   1c1 9286   -ucneg 9599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-ltxr 9426  df-sub 9600  df-neg 9601
This theorem is referenced by:  resubcl  9676  negreb  9677  renegcld  9778  ltnegcon1  9843  ltnegcon2  9844  lenegcon1  9846  lenegcon2  9847  mullt0  9862  mulge0b  10202  mulle0b  10203  infm3lem  10291  infm3  10292  riotaneg  10308  infmrcl  10312  elnnz  10659  btwnz  10747  ublbneg  10942  negn0  10944  supminf  10945  uzwo3  10951  zmax  10953  rebtwnz  10955  rpneg  11023  max0sub  11169  xnegcl  11186  xnegneg  11187  xltnegi  11189  rexsub  11206  xnegid  11209  xnegdi  11214  xpncan  11217  xnpcan  11218  xadddi  11261  iooneg  11408  iccneg  11409  icoshftf1o  11411  dfceil2  11683  ceicl  11685  ceige  11687  ceim1l  11689  negmod0  11719  crim  12607  cnpart  12732  sqrneglem  12759  absnid  12790  max0add  12802  absdiflt  12808  absdifle  12809  sqreulem  12850  resinhcl  13443  rpcoshcl  13444  tanhlt1  13447  tanhbnd  13448  remulg  18040  resubdrg  18041  cnheiborlem  20529  evth2  20535  ismbf3d  21135  mbfinf  21146  itgconst  21299  reeff1o  21915  atanbnd  22324  readdsubgo  23843  negelrp  26040  sgnneg  26926  ltflcei  28422  cos2h  28426  iblabsnclem  28458  ftc1anclem1  28470  areacirclem2  28488  areacirclem3  28489  areacirc  28492  mulltgt0  29747  stoweidlem10  29808
  Copyright terms: Public domain W3C validator