MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Structured version   Unicode version

Theorem renegcl 9887
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3978 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9885, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9817 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  ->  -u A  =  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 ) )
21eleq1d 2512 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  -> 
( -u A  e.  RR  <->  -u if ( A  e.  RR ,  A , 
1 )  e.  RR ) )
3 1re 9598 . . . 4  |-  1  e.  RR
43elimel 3989 . . 3  |-  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
54renegcli 9885 . 2  |-  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
62, 5dedth 3978 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   ifcif 3926   RRcr 9494   1c1 9496   -ucneg 9811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-sub 9812  df-neg 9813
This theorem is referenced by:  resubcl  9888  negreb  9889  renegcld  9993  ltnegcon1  10060  ltnegcon2  10061  lenegcon1  10063  lenegcon2  10064  mullt0  10079  mulge0b  10419  mulle0b  10420  infm3lem  10508  infm3  10509  riotaneg  10525  infmrcl  10529  elnnz  10881  btwnz  10973  ublbneg  11177  negn0  11179  supminf  11180  uzwo3  11188  zmax  11190  rebtwnz  11192  rpneg  11260  max0sub  11406  xnegcl  11423  xnegneg  11424  xltnegi  11426  rexsub  11443  xnegid  11446  xnegdi  11451  xpncan  11454  xnpcan  11455  xadddi  11498  iooneg  11651  iccneg  11652  icoshftf1o  11654  dfceil2  11950  ceicl  11952  ceige  11954  ceim1l  11956  negmod0  11986  crim  12930  cnpart  13055  sqrtneglem  13082  absnid  13113  max0add  13125  absdiflt  13132  absdifle  13133  sqreulem  13174  resinhcl  13873  rpcoshcl  13874  tanhlt1  13877  tanhbnd  13878  remulg  18621  resubdrg  18622  cnheiborlem  21432  evth2  21438  ismbf3d  22039  mbfinf  22050  itgconst  22203  reeff1o  22820  atanbnd  23235  readdsubgo  25333  negelrp  27542  sgnneg  28457  ltflcei  30019  cos2h  30022  iblabsnclem  30054  ftc1anclem1  30066  areacirclem2  30084  areacirclem3  30085  areacirc  30088  mulltgt0  31351  limsupre  31601  stoweidlem10  31746  etransclem46  32017
  Copyright terms: Public domain W3C validator