Theorem rencldnfilem 30729

Description: Lemma for rencldnfi 30730. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rencldnfilem	|- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) -> -. A e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem rencldnfilem

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
2	1	rexbidv 2954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
3	2	elrab 3243	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } <-> ( c e. RR /\ E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
4		simp-4l 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> A C_ RR )
5		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. A )
6	4, 5	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. RR )
7	6	recnd 9625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. CC )
8		simp-4r 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> B e. RR )
9	8	recnd 9625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> B e. CC )
10	7, 9	subcld 9936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( b - B ) e. CC )
11		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> -. B e. A )
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> -. B e. A )
13		nelneq 2560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. A /\ -. B e. A ) -> -. b = B )
14	5, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> -. b = B )
15		subeq0 9850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( b - B ) = 0 <-> b = B ) )
16	15	necon3abid 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( b - B ) =/= 0 <-> -. b = B ) )
17	7, 9, 16	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( ( b - B ) =/= 0 <-> -. b = B ) )
18	14, 17	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( b - B ) =/= 0 )
19	10, 18	absrpcld 13260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( abs ` ( b - B ) ) e. RR+ )
20		eleq1 2515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( abs ` ( b - B ) ) -> ( c e. RR+ <-> ( abs ` ( b - B ) ) e. RR+ ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( c = ( abs ` ( b - B ) ) -> c e. RR+ ) )
22	21	rexlimdva 2935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) -> ( E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) -> c e. RR+ ) )
23	22	expimpd 603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( ( c e. RR /\ E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) -> c e. RR+ ) )
24	3, 23	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> c e. RR+ ) )
25	24	ssrdv 3495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR+ )
26	25	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR+ )
27		abrexfi 7822	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
28		rabssab 3572	. . . . . . . . . . 11 |- { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) }
29		ssfi 7742	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
30	27, 28, 29	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
32		simplrl 761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> A =/= (/) )
33		n0 3780	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) <-> E. y y e. A )
34	32, 33	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. y y e. A )
35		simp-4l 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> A C_ RR )
36		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. A )
37	35, 36	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
38	37	recnd 9625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. CC )
39		simp-4r 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> B e. RR )
40	39	recnd 9625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> B e. CC )
41	38, 40	subcld 9936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( y - B ) e. CC )
42	41	abscld 13248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( abs ` ( y - B ) ) e. RR )
43		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) )
44		oveq1 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = y -> ( b - B ) = ( y - B ) )
45	44	fveq2d 5860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> ( abs ` ( b - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) )
46	45	eqeq2d 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = y -> ( ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) <-> ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) ) )
47	46	rspcev 3196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) ) -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
48	43, 47	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
50		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( abs ` ( y - B ) ) -> ( a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
51	50	rexbidv 2954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( abs ` ( y - B ) ) -> ( E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
52	51	elrab 3243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } <-> ( ( abs ` ( y - B ) ) e. RR /\ E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
53	42, 49, 52	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
54		ne0i 3776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
55	53, 54	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
56	34, 55	exlimddv 1713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
57		ssrab2 3570	. . . . . . . . . 10 |- { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR )
59		gtso 9669	. . . . . . . . . 10 |- `' < Or RR
60		fisupcl 7930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' < Or RR /\ ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR ) ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
61	59, 60	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
62	31, 56, 58, 61	syl3anc 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
63	26, 62	sseldd 3490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR+ )
64	57	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR )
65		soss 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR -> ( `' < Or RR -> `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) )
66	57, 59, 65	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) }
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
68		fisupg 7770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) )
69	67, 31, 56, 68	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) )
70		elrabi 3240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> c e. RR )
71		elrabi 3240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> d e. RR )
72		vex 3098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- c e. _V
73		vex 3098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- d e. _V
74	72, 73	brcnv 5175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c `' < d <-> d < c )
75	74	notbii 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. c `' < d <-> -. d < c )
76		lenlt 9666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( c <_ d <-> -. d < c ) )
77	76	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( -. d < c -> c <_ d ) )
78	75, 77	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
79	78	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) /\ d e. RR ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
80	71, 79	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) /\ d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
81	80	ralimdva 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) -> ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
82	81	adantrd 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) -> ( ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
83	70, 82	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> ( ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
84	83	reximdva 2918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> ( E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
85	69, 84	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d )
86	85	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d )
87		lbinfmle 10505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR /\ E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d /\ ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
88	64, 86, 53, 87	syl3anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
89	57, 62	sseldi 3487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR )
90	89	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR )
91	90, 42	lenltd 9734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) <-> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
92	88, 91	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) )
93	92	ralrimiva 2857	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) )
94		breq2 4441	. . . . . . . . . 10 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
95	94	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
96	95	ralbidv 2882	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
97	96	rspcev 3196	. . . . . . 7 |- ( ( sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR+ /\ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x )
98	63, 93, 97	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x )
99		ralnex 2889	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
100	99	rexbii 2945	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> E. x e. RR+ -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
101		rexnal 2891	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
102	100, 101	bitri 249	. . . . . 6 |- ( E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
103	98, 102	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
104	103	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A e. Fin -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) )
105	104	3impa 1192	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A e. Fin -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) )
106	105	con2d 115	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x -> -. A e. Fin ) )
107	106	imp 429	1 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) -> -. A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   E.wex 1599   e. wcel 1804   {cab 2428   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   Or wor 4789   `'ccnv 4988   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   supcsup 7902   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   < clt 9631   <_ cle 9632   - cmin 9810   RR+crp 11230   abscabs 13048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-seq 12089  df-exp 12148  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050

This theorem is referenced by:  rencldnfi  30730