Theorem rencldnfilem 30345

Description: Lemma for rencldnfi 30346. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rencldnfilem	|- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) -> -. A e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem rencldnfilem

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
2	1	rexbidv 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
3	2	elrab 3254	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } <-> ( c e. RR /\ E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
4		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> A C_ RR )
5		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. A )
6	4, 5	sseldd 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. RR )
7	6	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. CC )
8		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> B e. RR )
9	8	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> B e. CC )
10	7, 9	subcld 9919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( b - B ) e. CC )
11		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> -. B e. A )
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> -. B e. A )
13		nelneq 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. A /\ -. B e. A ) -> -. b = B )
14	5, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> -. b = B )
15		subeq0 9834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( b - B ) = 0 <-> b = B ) )
16	15	necon3abid 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( b - B ) =/= 0 <-> -. b = B ) )
17	7, 9, 16	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( ( b - B ) =/= 0 <-> -. b = B ) )
18	14, 17	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( b - B ) =/= 0 )
19	10, 18	absrpcld 13228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( abs ` ( b - B ) ) e. RR+ )
20		eleq1 2532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( abs ` ( b - B ) ) -> ( c e. RR+ <-> ( abs ` ( b - B ) ) e. RR+ ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( c = ( abs ` ( b - B ) ) -> c e. RR+ ) )
22	21	rexlimdva 2948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) -> ( E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) -> c e. RR+ ) )
23	22	expimpd 603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( ( c e. RR /\ E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) -> c e. RR+ ) )
24	3, 23	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> c e. RR+ ) )
25	24	ssrdv 3503	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR+ )
26	25	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR+ )
27		abrexfi 7809	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
28		rabssab 3580	. . . . . . . . . . 11 |- { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) }
29		ssfi 7730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
30	27, 28, 29	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
32		simplrl 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> A =/= (/) )
33		n0 3787	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) <-> E. y y e. A )
34	32, 33	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. y y e. A )
35		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> A C_ RR )
36		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. A )
37	35, 36	sseldd 3498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
38	37	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. CC )
39		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> B e. RR )
40	39	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> B e. CC )
41	38, 40	subcld 9919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( y - B ) e. CC )
42	41	abscld 13216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( abs ` ( y - B ) ) e. RR )
43		eqid 2460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) )
44		oveq1 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = y -> ( b - B ) = ( y - B ) )
45	44	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> ( abs ` ( b - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) )
46	45	eqeq2d 2474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = y -> ( ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) <-> ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) ) )
47	46	rspcev 3207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) ) -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
48	43, 47	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
50		eqeq1 2464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( abs ` ( y - B ) ) -> ( a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
51	50	rexbidv 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( abs ` ( y - B ) ) -> ( E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
52	51	elrab 3254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } <-> ( ( abs ` ( y - B ) ) e. RR /\ E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
53	42, 49, 52	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
54		ne0i 3784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
55	53, 54	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
56	34, 55	exlimddv 1697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
57		ssrab2 3578	. . . . . . . . . 10 |- { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR )
59		ltso 9654	. . . . . . . . . . 11 |- < Or RR
60		cnvso 5537	. . . . . . . . . . 11 |- ( < Or RR <-> `' < Or RR )
61	59, 60	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- `' < Or RR
62		fisupcl 7916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' < Or RR /\ ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR ) ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
63	61, 62	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
64	31, 56, 58, 63	syl3anc 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
65	26, 64	sseldd 3498	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR+ )
66	57	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR )
67		soss 4811	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR -> ( `' < Or RR -> `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) )
68	57, 61, 67	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) }
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
70		fisupg 7757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) )
71	69, 31, 56, 70	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) )
72		elrabi 3251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> c e. RR )
73		elrabi 3251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> d e. RR )
74		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- c e. _V
75		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- d e. _V
76	74, 75	brcnv 5176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c `' < d <-> d < c )
77	76	notbii 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. c `' < d <-> -. d < c )
78		lenlt 9652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( c <_ d <-> -. d < c ) )
79	78	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( -. d < c -> c <_ d ) )
80	77, 79	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
81	80	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) /\ d e. RR ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
82	73, 81	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) /\ d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
83	82	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) -> ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
84	83	adantrd 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) -> ( ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
85	72, 84	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> ( ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
86	85	reximdva 2931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> ( E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
87	71, 86	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d )
88	87	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d )
89		lbinfmle 10487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR /\ E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d /\ ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
90	66, 88, 53, 89	syl3anc 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
91	57, 64	sseldi 3495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR )
92	91	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR )
93	92, 42	lenltd 9719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) <-> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
94	90, 93	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) )
95	94	ralrimiva 2871	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) )
96		breq2 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
97	96	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
98	97	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
99	98	rspcev 3207	. . . . . . 7 |- ( ( sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR+ /\ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x )
100	65, 95, 99	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x )
101		ralnex 2903	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
102	101	rexbii 2958	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> E. x e. RR+ -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
103		rexnal 2905	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
104	102, 103	bitri 249	. . . . . 6 |- ( E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
105	100, 104	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
106	105	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A e. Fin -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) )
107	106	3impa 1186	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A e. Fin -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) )
108	107	con2d 115	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x -> -. A e. Fin ) )
109	108	imp 429	1 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) -> -. A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762   {cab 2445   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   C_ wss 3469   (/)c0 3778   class class class wbr 4440   Or wor 4792   `'ccnv 4991   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   supcsup 7889   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9794   RR+crp 11209   abscabs 13017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019

This theorem is referenced by:  rencldnfi  30346