Theorem rencldnfilem 29156

Description: Lemma for rencldnfi 29157. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rencldnfilem	|- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) -> -. A e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem rencldnfilem

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
2	1	rexbidv 2734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
3	2	elrab 3115	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } <-> ( c e. RR /\ E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
4		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> A C_ RR )
5		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. A )
6	4, 5	sseldd 3355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. RR )
7	6	recnd 9410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. CC )
8		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> B e. RR )
9	8	recnd 9410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> B e. CC )
10	7, 9	subcld 9717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( b - B ) e. CC )
11		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> -. B e. A )
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> -. B e. A )
13		nelneq 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. A /\ -. B e. A ) -> -. b = B )
14	5, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> -. b = B )
15		subeq0 9633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( b - B ) = 0 <-> b = B ) )
16	15	necon3abid 2639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( b - B ) =/= 0 <-> -. b = B ) )
17	7, 9, 16	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( ( b - B ) =/= 0 <-> -. b = B ) )
18	14, 17	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( b - B ) =/= 0 )
19	10, 18	absrpcld 12932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( abs ` ( b - B ) ) e. RR+ )
20		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( abs ` ( b - B ) ) -> ( c e. RR+ <-> ( abs ` ( b - B ) ) e. RR+ ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( c = ( abs ` ( b - B ) ) -> c e. RR+ ) )
22	21	rexlimdva 2839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) -> ( E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) -> c e. RR+ ) )
23	22	expimpd 603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( ( c e. RR /\ E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) -> c e. RR+ ) )
24	3, 23	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> c e. RR+ ) )
25	24	ssrdv 3360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR+ )
26	25	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR+ )
27		abrexfi 7609	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
28		rabssab 3437	. . . . . . . . . . 11 |- { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) }
29		ssfi 7531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
30	27, 28, 29	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
32		simplrl 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> A =/= (/) )
33		n0 3644	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) <-> E. y y e. A )
34	32, 33	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. y y e. A )
35		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> A C_ RR )
36		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. A )
37	35, 36	sseldd 3355	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
38	37	recnd 9410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. CC )
39		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> B e. RR )
40	39	recnd 9410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> B e. CC )
41	38, 40	subcld 9717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( y - B ) e. CC )
42	41	abscld 12920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( abs ` ( y - B ) ) e. RR )
43		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) )
44		oveq1 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = y -> ( b - B ) = ( y - B ) )
45	44	fveq2d 5693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> ( abs ` ( b - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) )
46	45	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = y -> ( ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) <-> ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) ) )
47	46	rspcev 3071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) ) -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
48	43, 47	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
50		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( abs ` ( y - B ) ) -> ( a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
51	50	rexbidv 2734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( abs ` ( y - B ) ) -> ( E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
52	51	elrab 3115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } <-> ( ( abs ` ( y - B ) ) e. RR /\ E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
53	42, 49, 52	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
54		ne0i 3641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
55	53, 54	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
56	34, 55	exlimddv 1692	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
57		ssrab2 3435	. . . . . . . . . 10 |- { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR )
59		ltso 9453	. . . . . . . . . . 11 |- < Or RR
60		cnvso 5374	. . . . . . . . . . 11 |- ( < Or RR <-> `' < Or RR )
61	59, 60	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- `' < Or RR
62		fisupcl 7715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' < Or RR /\ ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR ) ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
63	61, 62	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
64	31, 56, 58, 63	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
65	26, 64	sseldd 3355	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR+ )
66	57	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR )
67		soss 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR -> ( `' < Or RR -> `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) )
68	57, 61, 67	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) }
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
70		fisupg 7558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) )
71	69, 31, 56, 70	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) )
72		elrabi 3112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> c e. RR )
73		elrabi 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> d e. RR )
74		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- c e. _V
75		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- d e. _V
76	74, 75	brcnv 5020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c `' < d <-> d < c )
77	76	notbii 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. c `' < d <-> -. d < c )
78		lenlt 9451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( c <_ d <-> -. d < c ) )
79	78	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( -. d < c -> c <_ d ) )
80	77, 79	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
81	80	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) /\ d e. RR ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
82	73, 81	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) /\ d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
83	82	ralimdva 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) -> ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
84	83	adantrd 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) -> ( ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
85	72, 84	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> ( ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
86	85	reximdva 2826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> ( E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
87	71, 86	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d )
88	87	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d )
89		lbinfmle 10283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR /\ E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d /\ ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
90	66, 88, 53, 89	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
91	57, 64	sseldi 3352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR )
92	91	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR )
93	92, 42	lenltd 9518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) <-> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
94	90, 93	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) )
95	94	ralrimiva 2797	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) )
96		breq2 4294	. . . . . . . . . 10 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
97	96	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
98	97	ralbidv 2733	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
99	98	rspcev 3071	. . . . . . 7 |- ( ( sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR+ /\ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x )
100	65, 95, 99	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x )
101		ralnex 2723	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
102	101	rexbii 2738	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> E. x e. RR+ -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
103		rexnal 2724	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
104	102, 103	bitri 249	. . . . . 6 |- ( E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
105	100, 104	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
106	105	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A e. Fin -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) )
107	106	3impa 1182	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A e. Fin -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) )
108	107	con2d 115	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x -> -. A e. Fin ) )
109	108	imp 429	1 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) -> -. A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   {cab 2427   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   C_ wss 3326   (/)c0 3635   class class class wbr 4290   Or wor 4638   `'ccnv 4837   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Fincfn 7308   supcsup 7688   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280   < clt 9416   <_ cle 9417   - cmin 9593   RR+crp 10989   abscabs 12721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723

This theorem is referenced by:  rencldnfi  29157