Theorem rencldnfilem 35575

Description: Lemma for rencldnfi 35576. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rencldnfilem	|- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) -> -. A e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem rencldnfilem

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
2	1	rexbidv 2878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
3	2	elrab 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } <-> ( c e. RR /\ E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
4		simp-4l 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> A C_ RR )
5		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. A )
6	4, 5	sseldd 3408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. RR )
7	6	recnd 9620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. CC )
8		simp-4r 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> B e. RR )
9	8	recnd 9620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> B e. CC )
10	7, 9	subcld 9937	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( b - B ) e. CC )
11		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> -. B e. A )
12	11	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> -. B e. A )
13		nelneq 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. A /\ -. B e. A ) -> -. b = B )
14	5, 12, 13	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> -. b = B )
15		subeq0 9851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( b - B ) = 0 <-> b = B ) )
16	15	necon3abid 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( b - B ) =/= 0 <-> -. b = B ) )
17	7, 9, 16	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( ( b - B ) =/= 0 <-> -. b = B ) )
18	14, 17	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( b - B ) =/= 0 )
19	10, 18	absrpcld 13453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( abs ` ( b - B ) ) e. RR+ )
20		eleq1 2494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( abs ` ( b - B ) ) -> ( c e. RR+ <-> ( abs ` ( b - B ) ) e. RR+ ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( c = ( abs ` ( b - B ) ) -> c e. RR+ ) )
22	21	rexlimdva 2856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) -> ( E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) -> c e. RR+ ) )
23	22	expimpd 606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( ( c e. RR /\ E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) -> c e. RR+ ) )
24	3, 23	syl5bi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> c e. RR+ ) )
25	24	ssrdv 3413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR+ )
26	25	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR+ )
27		abrexfi 7827	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
28		rabssab 3491	. . . . . . . . . . 11 |- { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) }
29		ssfi 7745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
30	27, 28, 29	sylancl 666	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
31	30	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
32		simplrl 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> A =/= (/) )
33		n0 3714	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) <-> E. y y e. A )
34	32, 33	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. y y e. A )
35		simp-4l 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> A C_ RR )
36		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. A )
37	35, 36	sseldd 3408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
38	37	recnd 9620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. CC )
39		simp-4r 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> B e. RR )
40	39	recnd 9620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> B e. CC )
41	38, 40	subcld 9937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( y - B ) e. CC )
42	41	abscld 13441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( abs ` ( y - B ) ) e. RR )
43		eqid 2428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) )
44		oveq1 6256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = y -> ( b - B ) = ( y - B ) )
45	44	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> ( abs ` ( b - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) )
46	45	eqeq2d 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = y -> ( ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) <-> ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) ) )
47	46	rspcev 3125	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) ) -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
48	43, 47	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
49	48	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
50		eqeq1 2432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( abs ` ( y - B ) ) -> ( a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
51	50	rexbidv 2878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( abs ` ( y - B ) ) -> ( E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
52	51	elrab 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } <-> ( ( abs ` ( y - B ) ) e. RR /\ E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
53	42, 49, 52	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
54		ne0i 3710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
56	34, 55	exlimddv 1774	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
57		ssrab2 3489	. . . . . . . . . 10 |- { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR )
59		gtso 9666	. . . . . . . . . 10 |- `' < Or RR
60		fisupcl 7938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' < Or RR /\ ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR ) ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
61	59, 60	mpan 674	. . . . . . . . 9 |- ( ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
62	31, 56, 58, 61	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
63	26, 62	sseldd 3408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR+ )
64	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR )
65		soss 4735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR -> ( `' < Or RR -> `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) )
66	57, 59, 65	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) }
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
68		fisupg 7772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) )
69	67, 31, 56, 68	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) )
70		elrabi 3168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> c e. RR )
71		elrabi 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> d e. RR )
72		vex 3025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- c e. _V
73		vex 3025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- d e. _V
74	72, 73	brcnv 4979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c `' < d <-> d < c )
75	74	notbii 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. c `' < d <-> -. d < c )
76		lenlt 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( c <_ d <-> -. d < c ) )
77	76	biimprd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( -. d < c -> c <_ d ) )
78	75, 77	syl5bi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
79	78	adantll 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) /\ d e. RR ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
80	71, 79	sylan2 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) /\ d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
81	80	ralimdva 2773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) -> ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
82	81	adantrd 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) -> ( ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
83	70, 82	sylan2 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> ( ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
84	83	reximdva 2839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> ( E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
85	69, 84	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d )
86	85	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d )
87		lbinfle 10514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR /\ E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d /\ ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> inf ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
88	64, 86, 53, 87	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> inf ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
89		df-inf 7910	. . . . . . . . . . . 12 |- inf ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , < ) = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < )
90	89	eqcomi 2437	. . . . . . . . . . 11 |- sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) = inf ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , < )
91	90	breq1i 4373	. . . . . . . . . 10 |- ( sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) <-> inf ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
92	88, 91	sylibr 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
93	57, 62	sseldi 3405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR )
94	93	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR )
95	94, 42	lenltd 9732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) <-> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
96	92, 95	mpbid 213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) )
97	96	ralrimiva 2779	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) )
98		breq2 4370	. . . . . . . . . 10 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
99	98	notbid 295	. . . . . . . . 9 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
100	99	ralbidv 2804	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
101	100	rspcev 3125	. . . . . . 7 |- ( ( sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR+ /\ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x )
102	63, 97, 101	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x )
103		ralnex 2811	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
104	103	rexbii 2866	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> E. x e. RR+ -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
105		rexnal 2813	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
106	104, 105	bitri 252	. . . . . 6 |- ( E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
107	102, 106	sylib 199	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
108	107	ex 435	. . . 4 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A e. Fin -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) )
109	108	3impa 1200	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A e. Fin -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) )
110	109	con2d 118	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x -> -. A e. Fin ) )
111	110	imp 430	1 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) -> -. A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   {cab 2414   =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   C_ wss 3379   (/)c0 3704   class class class wbr 4366   Or wor 4716   `'ccnv 4795   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   supcsup 7907  infcinf 7908   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   < clt 9626   <_ cle 9627   - cmin 9811   RR+crp 11253   abscabs 13241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243

This theorem is referenced by:  rencldnfi  35576