Theorem rencldnfilem 26771

Description: Lemma for rencldnfi 26772. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rencldnfilem	|- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) -> -. A e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem rencldnfilem

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
2	1	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
3	2	elrab 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } <-> ( c e. RR /\ E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
4		simp-4l 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> A C_ RR )
5		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. A )
6	4, 5	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. RR )
7	6	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> b e. CC )
8		simp-4r 744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> B e. RR )
9	8	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> B e. CC )
10	7, 9	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( b - B ) e. CC )
11		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> -. B e. A )
12	11	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> -. B e. A )
13		nelneq 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. A /\ -. B e. A ) -> -. b = B )
14	5, 12, 13	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> -. b = B )
15		subeq0 9283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( b - B ) = 0 <-> b = B ) )
16	15	necon3abid 2600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( b - B ) =/= 0 <-> -. b = B ) )
17	7, 9, 16	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( ( b - B ) =/= 0 <-> -. b = B ) )
18	14, 17	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( b - B ) =/= 0 )
19	10, 18	absrpcld 12205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( abs ` ( b - B ) ) e. RR+ )
20		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( abs ` ( b - B ) ) -> ( c e. RR+ <-> ( abs ` ( b - B ) ) e. RR+ ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) /\ b e. A ) -> ( c = ( abs ` ( b - B ) ) -> c e. RR+ ) )
22	21	rexlimdva 2790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ c e. RR ) -> ( E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) -> c e. RR+ ) )
23	22	expimpd 587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( ( c e. RR /\ E. b e. A c = ( abs ` ( b - B ) ) ) -> c e. RR+ ) )
24	3, 23	syl5bi 209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> c e. RR+ ) )
25	24	ssrdv 3314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR+ )
26	25	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR+ )
27		abrexfi 7365	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
28		rabssab 3390	. . . . . . . . . . 11 |- { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) }
29		ssfi 7288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ { a | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
30	27, 28, 29	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
31	30	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin )
32		simplrl 737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> A =/= (/) )
33		n0 3597	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) <-> E. y y e. A )
34	32, 33	sylib 189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. y y e. A )
35		simp-4l 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> A C_ RR )
36		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. A )
37	35, 36	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
38	37	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> y e. CC )
39		simp-4r 744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> B e. RR )
40	39	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> B e. CC )
41	38, 40	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( y - B ) e. CC )
42	41	abscld 12193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( abs ` ( y - B ) ) e. RR )
43		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) )
44		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = y -> ( b - B ) = ( y - B ) )
45	44	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> ( abs ` ( b - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) )
46	45	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = y -> ( ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) <-> ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) ) )
47	46	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( y - B ) ) ) -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
48	43, 47	mpan2 653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
49	48	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) )
50		eqeq1 2410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( abs ` ( y - B ) ) -> ( a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
51	50	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( abs ` ( y - B ) ) -> ( E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) <-> E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
52	51	elrab 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } <-> ( ( abs ` ( y - B ) ) e. RR /\ E. b e. A ( abs ` ( y - B ) ) = ( abs ` ( b - B ) ) ) )
53	42, 49, 52	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
54		ne0i 3594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
55	53, 54	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
56	34, 55	exlimddv 1645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) )
57		ssrab2 3388	. . . . . . . . . 10 |- { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR )
59		ltso 9112	. . . . . . . . . . 11 |- < Or RR
60		cnvso 5370	. . . . . . . . . . 11 |- ( < Or RR <-> `' < Or RR )
61	59, 60	mpbi 200	. . . . . . . . . 10 |- `' < Or RR
62		fisupcl 7428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' < Or RR /\ ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR ) ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
63	61, 62	mpan 652	. . . . . . . . 9 |- ( ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
64	31, 56, 58, 63	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
65	26, 64	sseldd 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR+ )
66	57	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR )
67		soss 4481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR -> ( `' < Or RR -> `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) )
68	57, 61, 67	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) }
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } )
70		fisupg 7314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' < Or { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } e. Fin /\ { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } =/= (/) ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) )
71	69, 31, 56, 70	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) )
72		elrabi 3050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> c e. RR )
73		elrabi 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -> d e. RR )
74		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- c e. _V
75		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- d e. _V
76	74, 75	brcnv 5014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c `' < d <-> d < c )
77	76	notbii 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. c `' < d <-> -. d < c )
78		lenlt 9110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( c <_ d <-> -. d < c ) )
79	78	biimprd 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( -. d < c -> c <_ d ) )
80	77, 79	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
81	80	adantll 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) /\ d e. RR ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
82	73, 81	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) /\ d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> ( -. c `' < d -> c <_ d ) )
83	82	ralimdva 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) -> ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
84	83	adantrd 455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. RR ) -> ( ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
85	72, 84	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> ( ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
86	85	reximdva 2778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> ( E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } -. c `' < d /\ A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ( d `' < c -> E. x e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } d `' < x ) ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d ) )
87	71, 86	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d )
88	87	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d )
89		lbinfmle 9919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } C_ RR /\ E. c e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } A. d e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } c <_ d /\ ( abs ` ( y - B ) ) e. { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
90	66, 88, 53, 89	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) )
91	57, 64	sseldi 3306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR )
92	91	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR )
93	92, 42	lenltd 9175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> ( sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( y - B ) ) <-> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
94	90, 93	mpbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) /\ y e. A ) -> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) )
95	94	ralrimiva 2749	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) )
96		breq2 4176	. . . . . . . . . 10 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
97	96	notbid 286	. . . . . . . . 9 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
98	97	ralbidv 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) -> ( A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) )
99	98	rspcev 3012	. . . . . . 7 |- ( ( sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) e. RR+ /\ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < sup ( { a e. RR | E. b e. A a = ( abs ` ( b - B ) ) } , RR , `' < ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x )
100	65, 95, 99	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x )
101		ralnex 2676	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
102	101	rexbii 2691	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> E. x e. RR+ -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
103		rexnal 2677	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ -. E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
104	102, 103	bitri 241	. . . . . 6 |- ( E. x e. RR+ A. y e. A -. ( abs ` ( y - B ) ) < x <-> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
105	100, 104	sylib 189	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A e. Fin ) -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x )
106	105	ex 424	. . . 4 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A e. Fin -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) )
107	106	3impa 1148	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A e. Fin -> -. A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) )
108	107	con2d 109	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x -> -. A e. Fin ) )
109	108	imp 419	1 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR /\ ( A =/= (/) /\ -. B e. A ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. A ( abs ` ( y - B ) ) < x ) -> -. A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   Or wor 4462   `'ccnv 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   RR+crp 10568   abscabs 11994

This theorem is referenced by:  rencldnfi  26772

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996