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Theorem remullem 12963
Description: Lemma for remul 12964, immul 12971, and cjmul 12977. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
remullem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  /\  ( Im `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  /\  ( * `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( * `
 B ) ) ) )

Proof of Theorem remullem
StepHypRef Expression
1 replim 12951 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2 replim 12951 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
31, 2oveqan12d 6215 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
4 recl 12945 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
54adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
65recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
7 ax-icn 9462 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
8 imcl 12946 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
98adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
109recnd 9533 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
11 mulcl 9487 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
127, 10, 11sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
136, 12addcld 9526 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  e.  CC )
14 recl 12945 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1514adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
1615recnd 9533 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
17 imcl 12946 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1817adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1918recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
20 mulcl 9487 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
217, 19, 20sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2213, 16, 21adddid 9531 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
236, 12, 16adddird 9532 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
246, 12, 21adddird 9532 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
2523, 24oveq12d 6214 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) ) )  +  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) ) )
265, 15remulcld 9535 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  RR )
2726recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
2812, 21mulcld 9527 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
2912, 16mulcld 9527 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
306, 21mulcld 9527 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
3127, 28, 29, 30add42d 9717 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  +  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) ) )  +  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
327a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
3332, 10, 32, 19mul4d 9703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )
34 ixi 10095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
3534oveq1i 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )
369, 18remulcld 9535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  RR )
3736recnd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
3837mulm1d 9926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  =  -u ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )
3935, 38syl5eq 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )
4033, 39eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )
4140oveq2d 6212 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
4227, 37negsubd 9850 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  -u ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
4341, 42eqtrd 2423 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
449, 15remulcld 9535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  RR )
4544recnd 9533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
46 mulcl 9487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  CC )
477, 45, 46sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  CC )
485, 18remulcld 9535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  RR )
4948recnd 9533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
50 mulcl 9487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  CC )
517, 49, 50sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  CC )
5247, 51addcomd 9693 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5332, 10, 16mulassd 9530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) )
546, 32, 19mul12d 9700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )
5553, 54oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
5632, 49, 45adddid 9531 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5752, 55, 563eqtr4d 2433 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5843, 57oveq12d 6214 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  +  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) )
5925, 31, 583eqtr2d 2429 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )
603, 22, 593eqtrd 2427 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) ) )
6160fveq2d 5778 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( Re
`  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) ) )
6226, 36resubcld 9905 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR )
6348, 44readdcld 9534 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )
64 crre 12949 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
6562, 63, 64syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
6661, 65eqtrd 2423 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
6760fveq2d 5778 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( Im
`  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) ) )
68 crim 12950 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) )
6962, 63, 68syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
7067, 69eqtrd 2423 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
71 mulcl 9487 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
72 remim 12952 . . . 4  |-  ( ( A  x.  B )  e.  CC  ->  (
* `  ( A  x.  B ) )  =  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  x.  B
) ) ) ) )
7371, 72syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
74 remim 12952 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
75 remim 12952 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  =  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
7674, 75oveqan12d 6215 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
7716, 21subcld 9844 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
786, 12, 77subdird 9931 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
7927, 30, 29, 28subadd4d 9892 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
806, 16, 21subdid 9930 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
8112, 16, 21subdid 9930 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
8280, 81oveq12d 6214 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
8365, 61, 433eqtr4d 2433 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
8470oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
8554, 53oveq12d 6214 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
8656, 84, 853eqtr4d 2433 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
8783, 86oveq12d 6214 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  x.  B
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
8879, 82, 873eqtr4d 2433 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( Re
`  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
8976, 78, 883eqtrd 2427 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
9073, 89eqtr4d 2426 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( * `  B ) ) )
9166, 70, 903jca 1174 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  /\  ( Im `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  /\  ( * `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( * `
 B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   1c1 9404   _ici 9405    + caddc 9406    x. cmul 9408    - cmin 9718   -ucneg 9719   *ccj 12931   Recre 12932   Imcim 12933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-2 10511  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936
This theorem is referenced by:  remul  12964  immul  12971  cjmul  12977
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