Theorem remulcli 6488

Description: Closure law for multiplication of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
axri.1	|- A e. RR
axri.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
remulcli	|- (A x. B) e. RR

Proof of Theorem remulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axri.1	. 2 |- A e. RR
2		axri.2	. 2 |- B e. RR
3		remulcl 6457	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)
4	1, 2, 3	mp2an 761	1 |- (A x. B) e. RR

Syntax hints:   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  RRcr 6385   x. cmul 6391

This theorem is referenced by:  mulge0i 6787  msqge0i 6795  msqge0iOLD 6796  ltmullem 6824  redivcli 6976  prodgt0lem 6996  prodge0i 6998  ltmul1ii 6999  ltmuldivi 7003  lt2msqi 7064  le2msqi 7065  msq11i 7066  halfposi 7087  ledivp1i 7089  ltdivp1i 7090  addltmul 7229  nn0lele2xi 7344  discrlem1 7906  discrlem2 7907  discrlem3 7908  nn0opthlem2 7915  sqr0 7922  sqrlem1 7923  sqrlem2 7924  sqrlem6 7928  sqrlem10 7932  sqrlem11 7933  sqrlem12 7934  sqrlem16 7938  sqrlem19 7941  sqrlem20 7942  sqrlem23 7945  sqrmulii 7954  sqrmsq2i 7956  sqrmsqi 7959  sqr2irrlem1 7974  sqr2irrlem4 7977  remuli 8036  immuli 8037  ipcni 8040  abstrii 8143  faclbnd4lem1 8200  expcnvlem2 8489  cvgratlem1ALT 8509  efaddlem12 8611  efaddlem13 8612  efaddlem16 8615  efaddlem20 8619  efaddlem22 8621  efaddlem23 8622  efaddlem25 8624  absef01tllem 8649  eirrlem1 8651  eirrlem3 8653  efcnlem1 8684  efcnlem2 8685  sin01bndlem1 8733  cos2bnd 8741  sin4lt0 8747  ruclem1 8779  ruclem2 8780  ruclem3 8781  ruclem26 8804  siilem1 9852  minveclem21 9910  minveclem25 9914  minveclem26 9915  minveclem27 9916  minveclem38 9927  sinperlem1 10035  sincosq3sgn 10055  sincosq4sgn 10056  sincos4thpi 10060  cosh111lem1 10068  efif 10075  efifolem2 10077  efifolem3 10078  efifolem4 10079  efifolem6 10081  efifolem7 10082  efif1lem1 10084  efif1lem2 10085  efif1lem4 10087  efif1lem5 10088  efif1lem6 10089  efif1lem7 10090  circgrp 10094  shftefif1olem 10095  effoi 10099  efper 10101  normlem6 10614  normlem7 10615  norm-ii.i 10637  normpar2i 10656  bcsiALT 10679  projlem1 10819  projlem2 10820  projlem3 10821  projlem4 10822  projlem5 10823  projlem6 10824  projlem18 10836  projlem28 10846  nmopadjlem 11659  nmopcoi 11665  bdopcoi 11668  nmopcoadji 11671  unierri 11674  dvdslelem 13692  divalglem1 13697  divalglem6 13701  csbrni 15832  trirni 15833

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-m1r 6325  df-c 6392  df-r 6396  df-mul 6398

Copyright terms: Public domain