MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remul2 Structured version   Unicode version

Theorem remul2 12640
Description: Real part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
remul2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Re `  B ) ) )

Proof of Theorem remul2
StepHypRef Expression
1 recn 9393 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 remul 12639 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
31, 2sylan 471 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
4 rere 12632 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  A )  =  A )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  =  A )
65oveq1d 6127 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  =  ( A  x.  ( Re `  B ) ) )
7 reim0 12628 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
87oveq1d 6127 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  =  ( 0  x.  ( Im `  B
) ) )
9 imcl 12621 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
109recnd 9433 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
1110mul02d 9588 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  ( Im
`  B ) )  =  0 )
128, 11sylan9eq 2495 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  =  0 )
136, 12oveq12d 6130 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( A  x.  ( Re
`  B ) )  -  0 ) )
14 recl 12620 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1514recnd 9433 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
16 mulcl 9387 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  B )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
171, 15, 16syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
1817subid1d 9729 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( Re `  B ) )  -  0 )  =  ( A  x.  ( Re `  B ) ) )
193, 13, 183eqtrd 2479 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Re `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303    x. cmul 9308    - cmin 9616   Recre 12607   Imcim 12608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-2 10401  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611
This theorem is referenced by:  rediv  12641  remul2d  12737  abscxp  22159  asinsin  22309
  Copyright terms: Public domain W3C validator