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Theorem remim 11479
Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus  _i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )

Proof of Theorem remim
StepHypRef Expression
1 cjval 11464 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) ) )
2 replim 11478 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
32oveq1d 5725 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  +  ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4 recl 11472 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
54recnd 8741 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6 ax-icn 8676 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
7 imcl 11473 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
87recnd 8741 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
9 ax-mulcl 8679 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
106, 8, 9sylancr 647 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
115, 10, 5ppncand 9077 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  +  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  A ) ) )
123, 11eqtrd 2285 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  A ) ) )
134, 4readdcld 8742 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( Re
`  A ) )  e.  RR )
1412, 13eqeltrd 2327 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR )
155, 10, 10pnncand 9076 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
162oveq1d 5725 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
176a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
1817, 8, 8adddid 8739 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1915, 16, 183eqtr4d 2295 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) )
2019oveq2d 5726 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
217, 7readdcld 8742 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  RR )
2221recnd 8741 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC )
23 mulass 8705 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) ) ) )
246, 6, 23mp3an12 1272 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
2522, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
2620, 25eqtr4d 2288 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) ) )
27 ixi 9277 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
28 1re 8717 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2928renegcli 8988 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR
3027, 29eqeltri 2323 . . . . 5  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
31 ax-mulrcl 8680 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  x.  _i )  e.  RR  /\  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  RR )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
3230, 21, 31sylancr 647 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  e.  RR )
3326, 32eqeltrd 2327 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  e.  RR )
345, 10subcld 9037 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
35 cju 9622 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
36 oveq2 5718 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
3736eleq1d 2319 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( A  +  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  RR ) )
38 oveq2 5718 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  ( A  -  x )  =  ( A  -  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
3938oveq2d 5726 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
4039eleq1d 2319 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( A  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR ) )
4137, 40anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR ) ) )
4241riota2 6213 . . . 4  |-  ( ( ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC  /\  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( A  +  ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR )  <->  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4334, 35, 42syl2anc 645 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR )  <->  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4414, 33, 43mpbi2and 892 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
451, 44eqtrd 2285 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   E!wreu 2511   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   iota_crio 6181   CCcc 8615   RRcr 8616   1c1 8618   _ici 8619    + caddc 8620    x. cmul 8622    - cmin 8917   -ucneg 8918   *ccj 11458   Recre 11459   Imcim 11460
This theorem is referenced by:  cjreb  11485  recj  11486  remullem  11490  imcj  11494  cjadd  11503  cjneg  11509  imval2  11513  cji  11521  remimd  11560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-2 9684  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463
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