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Theorem remim 12902
Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus  _i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )

Proof of Theorem remim
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjval 12887 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( iota_ x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) ) )
2 replim 12901 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
32oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  +  ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4 recl 12895 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
54recnd 9613 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6 ax-icn 9542 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
7 imcl 12896 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
87recnd 9613 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
9 mulcl 9567 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
106, 8, 9sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
115, 10, 5ppncand 9961 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  +  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  A ) ) )
123, 11eqtrd 2503 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  A ) ) )
134, 4readdcld 9614 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( Re
`  A ) )  e.  RR )
1412, 13eqeltrd 2550 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR )
155, 10, 10pnncand 9960 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
162oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
176a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
1817, 8, 8adddid 9611 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1915, 16, 183eqtr4d 2513 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) )
2019oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
217, 7readdcld 9614 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  RR )
2221recnd 9613 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC )
23 mulass 9571 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) ) ) )
246, 6, 23mp3an12 1309 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
2522, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
2620, 25eqtr4d 2506 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) ) )
27 ixi 10169 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
28 neg1rr 10631 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR
2927, 28eqeltri 2546 . . . . 5  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
30 remulcl 9568 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  x.  _i )  e.  RR  /\  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  RR )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
3129, 21, 30sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  e.  RR )
3226, 31eqeltrd 2550 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  e.  RR )
335, 10subcld 9921 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
34 cju 10523 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
35 oveq2 6285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
3635eleq1d 2531 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( A  +  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  RR ) )
37 oveq2 6285 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  ( A  -  x )  =  ( A  -  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
3837oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
3938eleq1d 2531 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( A  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR ) )
4036, 39anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR ) ) )
4140riota2 6261 . . . 4  |-  ( ( ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC  /\  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( A  +  ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR )  <->  ( iota_ x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4233, 34, 41syl2anc 661 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR )  <->  ( iota_ x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4314, 32, 42mpbi2and 914 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( iota_ x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
441, 43eqtrd 2503 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E!wreu 2811   ` cfv 5581   iota_crio 6237  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   1c1 9484   _ici 9485    + caddc 9486    x. cmul 9488    - cmin 9796   -ucneg 9797   *ccj 12881   Recre 12882   Imcim 12883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-2 10585  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886
This theorem is referenced by:  cjreb  12908  recj  12909  remullem  12913  imcj  12917  cjadd  12926  cjneg  12932  imval2  12936  cji  12944  remimd  12983
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