Theorem remim 13099

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus _i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
remim	|- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Proof of Theorem remim

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjval 13084	. 2 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) )
2		replim 13098	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3	2	oveq1d 6293	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
4		recl 13092	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
5	4	recnd 9652	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
6		ax-icn 9581	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7		imcl 13093	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
8	7	recnd 9652	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
9		mulcl 9606	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10	6, 8, 9	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
11	5, 10, 5	ppncand 10007	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) )
12	3, 11	eqtrd 2443	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) )
13	4, 4	readdcld 9653	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) e. RR )
14	12, 13	eqeltrd 2490	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR )
15	5, 10, 10	pnncand 10006	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16	2	oveq1d 6293	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
17	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> _i e. CC )
18	17, 8, 8	adddid 9650	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
19	15, 16, 18	3eqtr4d 2453	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) )
20	19	oveq2d 6294	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
21	7, 7	readdcld 9653	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. RR )
22	21	recnd 9652	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC )
23		mulass 9610	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
24	6, 6, 23	mp3an12 1316	. . . . . 6 |- ( ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
25	22, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
26	20, 25	eqtr4d 2446	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) )
27		ixi 10219	. . . . . 6 |- ( _i x. _i ) = -u 1
28		neg1rr 10681	. . . . . 6 |- -u 1 e. RR
29	27, 28	eqeltri 2486	. . . . 5 |- ( _i x. _i ) e. RR
30		remulcl 9607	. . . . 5 |- ( ( ( _i x. _i ) e. RR /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) e. RR )
31	29, 21, 30	sylancr 661	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) e. RR )
32	26, 31	eqeltrd 2490	. . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR )
33	5, 10	subcld 9967	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
34		cju 10572	. . . 4 |- ( A e. CC -> E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )
35		oveq2 6286	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( A + x ) = ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
36	35	eleq1d 2471	. . . . . 6 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( A + x ) e. RR <-> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR ) )
37		oveq2 6286	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( A - x ) = ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
38	37	oveq2d 6294	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( _i x. ( A - x ) ) = ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
39	38	eleq1d 2471	. . . . . 6 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) )
40	36, 39	anbi12d 709	. . . . 5 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) ) )
41	40	riota2 6262	. . . 4 |- ( ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC /\ E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) <-> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
42	33, 34, 41	syl2anc 659	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) <-> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
43	14, 32, 42	mpbi2and 922	. 2 |- ( A e. CC -> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
44	1, 43	eqtrd 2443	1 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   E!wreu 2756   ` cfv 5569   iota_crio 6239  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   1c1 9523   _ici 9524   + caddc 9525   x. cmul 9527   - cmin 9841   -ucneg 9842   *ccj 13078   Recre 13079   Imcim 13080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-2 10635  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083

This theorem is referenced by:  cjreb  13105  recj  13106  remullem  13110  imcj  13114  cjadd  13123  cjneg  13129  imval2  13133  cji  13141  remimd  13180