MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relxpchom Structured version   Unicode version

Theorem relxpchom 15109
Description: A hom-set in the binary product of categories is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
relxpchom.t  |-  T  =  ( C  X.c  D )
relxpchom.k  |-  K  =  ( Hom  `  T
)
Assertion
Ref Expression
relxpchom  |-  Rel  ( X K Y )

Proof of Theorem relxpchom
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpss 5053 . . . 4  |-  ( ( ( 1st `  u
) ( Hom  `  C
) ( 1st `  v
) )  X.  (
( 2nd `  u
) ( Hom  `  D
) ( 2nd `  v
) ) )  C_  ( _V  X.  _V )
21rgen2w 2900 . . 3  |-  A. u  e.  ( Base `  T
) A. v  e.  ( Base `  T
) ( ( ( 1st `  u ) ( Hom  `  C
) ( 1st `  v
) )  X.  (
( 2nd `  u
) ( Hom  `  D
) ( 2nd `  v
) ) )  C_  ( _V  X.  _V )
3 relxpchom.t . . . . 5  |-  T  =  ( C  X.c  D )
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
5 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
6 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
7 relxpchom.k . . . . 5  |-  K  =  ( Hom  `  T
)
83, 4, 5, 6, 7xpchomfval 15107 . . . 4  |-  K  =  ( u  e.  (
Base `  T ) ,  v  e.  ( Base `  T )  |->  ( ( ( 1st `  u
) ( Hom  `  C
) ( 1st `  v
) )  X.  (
( 2nd `  u
) ( Hom  `  D
) ( 2nd `  v
) ) ) )
98ovmptss 6763 . . 3  |-  ( A. u  e.  ( Base `  T ) A. v  e.  ( Base `  T
) ( ( ( 1st `  u ) ( Hom  `  C
) ( 1st `  v
) )  X.  (
( 2nd `  u
) ( Hom  `  D
) ( 2nd `  v
) ) )  C_  ( _V  X.  _V )  ->  ( X K Y )  C_  ( _V  X.  _V ) )
102, 9ax-mp 5 . 2  |-  ( X K Y )  C_  ( _V  X.  _V )
11 df-rel 4954 . 2  |-  ( Rel  ( X K Y )  <->  ( X K Y )  C_  ( _V  X.  _V ) )
1210, 11mpbir 209 1  |-  Rel  ( X K Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370   A.wral 2798   _Vcvv 3076    C_ wss 3435    X. cxp 4945   Rel wrel 4952   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   1stc1st 6684   2ndc2nd 6685   Basecbs 14291   Hom chom 14367    X.c cxpc 15096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-fz 11554  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-hom 14380  df-cco 14381  df-xpc 15100
This theorem is referenced by:  1st2ndprf  15134
  Copyright terms: Public domain W3C validator