Theorem reltrncnv 14457

Description: A relation is transitive iff its converse is transitive.

Assertion

Ref	Expression
reltrncnv	|- (Rel R -> ((R o. R) C_ R <-> (`'R o. `'R) C_ `'R))

Proof of Theorem reltrncnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 4134	. . 3 |- ((R o. R) C_ R -> `'(R o. R) C_ `'R)
2		cnvco 4145	. . 3 |- `'(R o. R) = (`'R o. `'R)
3	1, 2	syl5ssr 2662	. 2 |- ((R o. R) C_ R -> (`'R o. `'R) C_ `'R)
4		cnvss 4134	. . . 4 |- ((`'R o. `'R) C_ `'R -> `'(`'R o. `'R) C_ `'`'R)
5		cnvco 4145	. . . . 5 |- `'(`'R o. `'R) = (`'`'R o. `'`'R)
6		sseq1 2637	. . . . . 6 |- (`'(`'R o. `'R) = (`'`'R o. `'`'R) -> (`'(`'R o. `'R) C_ `'`'R <-> (`'`'R o. `'`'R) C_ `'`'R))
7		dfrel2 4358	. . . . . . . 8 |- (Rel R <-> `'`'R = R)
8		coeq1 4123	. . . . . . . . . . 11 |- (`'`'R = R -> (`'`'R o. `'`'R) = (R o. `'`'R))
9		coeq2 4124	. . . . . . . . . . 11 |- (`'`'R = R -> (R o. `'`'R) = (R o. R))
10	8, 9	eqtrd 1925	. . . . . . . . . 10 |- (`'`'R = R -> (`'`'R o. `'`'R) = (R o. R))
11		id 73	. . . . . . . . . 10 |- (`'`'R = R -> `'`'R = R)
12	10, 11	sseq12d 2646	. . . . . . . . 9 |- (`'`'R = R -> ((`'`'R o. `'`'R) C_ `'`'R <-> (R o. R) C_ R))
13	12	biimpd 170	. . . . . . . 8 |- (`'`'R = R -> ((`'`'R o. `'`'R) C_ `'`'R -> (R o. R) C_ R))
14	7, 13	sylbi 216	. . . . . . 7 |- (Rel R -> ((`'`'R o. `'`'R) C_ `'`'R -> (R o. R) C_ R))
15	14	com12 14	. . . . . 6 |- ((`'`'R o. `'`'R) C_ `'`'R -> (Rel R -> (R o. R) C_ R))
16	6, 15	syl6bi 231	. . . . 5 |- (`'(`'R o. `'R) = (`'`'R o. `'`'R) -> (`'(`'R o. `'R) C_ `'`'R -> (Rel R -> (R o. R) C_ R)))
17	5, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- (`'(`'R o. `'R) C_ `'`'R -> (Rel R -> (R o. R) C_ R))
18	4, 17	syl 12	. . 3 |- ((`'R o. `'R) C_ `'R -> (Rel R -> (R o. R) C_ R))
19	18	com12 14	. 2 |- (Rel R -> ((`'R o. `'R) C_ `'R -> (R o. R) C_ R))
20	3, 19	impbid2 576	1 |- (Rel R -> ((R o. R) C_ R <-> (`'R o. `'R) C_ `'R))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   C_ wss 2593  `'ccnv 3985   o. ccom 3990  Rel wrel 3991

This theorem is referenced by:  dupre1 14584

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003

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