Theorem relssres 4248

Description: Simplification law for restriction.

Assertion

Ref	Expression
relssres	|- ((Rel A /\ dom A C_ B) -> (A |` B) = A)

Proof of Theorem relssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 346	. . . 4 |- ((Rel A /\ dom A C_ B) -> Rel A)
2		ssel 2615	. . . . . . . 8 |- (dom A C_ B -> (x e. dom A -> x e. B))
3		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	opeldm 4160	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. A -> x e. dom A)
5	2, 4	syl5 20	. . . . . . 7 |- (dom A C_ B -> (<.x, y>. e. A -> x e. B))
6	5	ancld 322	. . . . . 6 |- (dom A C_ B -> (<.x, y>. e. A -> (<.x, y>. e. A /\ x e. B)))
7		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
8	7	opelres 4222	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (A |` B) <-> (<.x, y>. e. A /\ x e. B))
9	6, 8	syl6ibr 230	. . . . 5 |- (dom A C_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (A |` B)))
10	9	adantl 424	. . . 4 |- ((Rel A /\ dom A C_ B) -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (A |` B)))
11	1, 10	relssdv 4079	. . 3 |- ((Rel A /\ dom A C_ B) -> A C_ (A |` B))
12		resss 4237	. . 3 |- (A |` B) C_ A
13	11, 12	jctil 316	. 2 |- ((Rel A /\ dom A C_ B) -> ((A |` B) C_ A /\ A C_ (A |` B)))
14		eqss 2631	. 2 |- ((A |` B) = A <-> ((A |` B) C_ A /\ A C_ (A |` B)))
15	13, 14	sylibr 217	1 |- ((Rel A /\ dom A C_ B) -> (A |` B) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  <.cop 3046  dom cdm 3986   |` cres 3988  Rel wrel 3991

This theorem is referenced by:  resdm 4249  resid 4258  fnresdm 4522  tz7.48-2 5166  ordtypelem4 5687  zorn2lem4 5953  cncfmet1 9184  abscncfALT 9683  axfelem10 14040  axfelem15 14045  resid2 14425  ordtypelem4OLD 15378  ivthALT 15454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-dm 4004  df-res 4006

Copyright terms: Public domain