Theorem relssres 2596

Description: Simplification law for restriction.

Assertion

Ref	Expression
relssres	|- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> (A |` B) = A)

Proof of Theorem relssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 256	. . . 4 |- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> Rel A)
2		ssel 1502	. . . . . . . 8 |- (dom A (_ B -> (x e. dom A -> x e. B))
3		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- x e. V
4	3	opeldm 2534	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. A -> x e. dom A)
5	2, 4	syl5 22	. . . . . . 7 |- (dom A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> x e. B))
6	5	ancld 246	. . . . . 6 |- (dom A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> (<.x, y>. e. A /\ x e. B)))
7		visset 1350	. . . . . . 7 |- y e. V
8	7	opelres 2579	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (A |` B) <-> (<.x, y>. e. A /\ x e. B))
9	6, 8	syl6ibr 186	. . . . 5 |- (dom A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (A |` B)))
10	9	adantl 305	. . . 4 |- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (A |` B)))
11	1, 10	relssdv 2482	. . 3 |- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> A (_ (A |` B))
12		resss 2587	. . 3 |- (A |` B) (_ A
13	11, 12	jctil 240	. 2 |- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> ((A |` B) (_ A /\ A (_ (A |` B)))
14		eqss 1516	. 2 |- ((A |` B) = A <-> ((A |` B) (_ A /\ A (_ (A |` B)))
15	13, 14	sylibr 175	1 |- ((Rel A /\ dom A (_ B) -> (A |` B) = A)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  <.cop 1810  dom cdm 2410   |` cres 2412  Rel wrel 2415

This theorem is referenced by:  resid 2601  fnresdm 2731  tz7.48-2 2995  zornlem4 3606  fac0 4871

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-dm 2428  df-res 2430

metamath.org