MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relssi Structured version   Unicode version

Theorem relssi 4914
Description: Inference from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
relssi.1  |-  Rel  A
relssi.2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
Assertion
Ref Expression
relssi  |-  A  C_  B
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem relssi
StepHypRef Expression
1 relssi.1 . . 3  |-  Rel  A
2 ssrel 4911 . . 3  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( A 
C_  B  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) )
4 relssi.2 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
54ax-gen 1639 . 2  |-  A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
63, 5mpgbir 1643 1  |-  A  C_  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1403    e. wcel 1842    C_ wss 3413   <.cop 3977   Rel wrel 4827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-opab 4453  df-xp 4828  df-rel 4829
This theorem is referenced by:  xpsspw  4936  oprssdm  6436  resiexg  6719  dftpos4  6976  enssdom  7577  idssen  7597  txuni2  20356  txpss3v  30203  pprodss4v  30209  aoprssdm  37636
  Copyright terms: Public domain W3C validator