Theorem relssdv 4079

Description: Deduction from subclass principle for relations.

Hypotheses

Ref	Expression
relssdv.1	|- (ph -> Rel A)
relssdv.2	|- (ph -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))

Assertion

Ref	Expression
relssdv	|- (ph -> A C_ B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   ph,x,y

Proof of Theorem relssdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssdv.2	. . 3 |- (ph -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
2	1	19.21aivv 1665	. 2 |- (ph -> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
3		relssdv.1	. . 3 |- (ph -> Rel A)
4		ssrel 4075	. . 3 |- (Rel A -> (A C_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
5	3, 4	syl 12	. 2 |- (ph -> (A C_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
6	2, 5	mpbird 213	1 |- (ph -> A C_ B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163  A.wal 1296   e. wcel 1300   C_ wss 2593  <.cop 3046  Rel wrel 3991

This theorem is referenced by:  xpss12 4089  xpss12OLD 4090  relssres 4248  relssdmrn 4416  aceq3lem 5894  infxpidmlem7 8827  vacnlem6 9672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001

Copyright terms: Public domain