Theorem relssdmrn 4416

Description: A relation is included in the cross product of its domain and range. Exercise 4.12(t) of [Mendelson] p. 235.

Assertion

Ref	Expression
relssdmrn	|- (Rel A -> A C_ (dom A X. ran A))

Proof of Theorem relssdmrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 73	. 2 |- (Rel A -> Rel A)
2		visset 2295	. . . . . 6 |- y e. _V
3	2	opelxp 4036	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (dom A X. ran A) <-> (x e. dom A /\ y e. ran A))
4		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
5	4	eldm2 4154	. . . . . 6 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
6	2	elrn2 4196	. . . . . 6 |- (y e. ran A <-> E.x<.x, y>. e. A)
7	5, 6	anbi12i 540	. . . . 5 |- ((x e. dom A /\ y e. ran A) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.x<.x, y>. e. A))
8	3, 7	bitri 190	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (dom A X. ran A) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.x<.x, y>. e. A))
9		19.8a 1376	. . . 4 |- (<.x, y>. e. A -> E.y<.x, y>. e. A)
10		19.8a 1376	. . . 4 |- (<.x, y>. e. A -> E.x<.x, y>. e. A)
11	8, 9, 10	sylanbrc 527	. . 3 |- (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (dom A X. ran A))
12	11	a1i 8	. 2 |- (Rel A -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (dom A X. ran A)))
13	1, 12	relssdv 4079	1 |- (Rel A -> A C_ (dom A X. ran A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wex 1326   C_ wss 2593  <.cop 3046   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ran crn 3987  Rel wrel 3991

This theorem is referenced by:  relrelss 4417  relfld 4419  cnvexg 4424  coexg 4429  resfunexg 4500  cofunexg 4501  fnexALT 4536  fssxp 4575  fssxpOLD 4576  oprabss 4935  on1el3 10412  oprabex2gpop 14337  erex 16262

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005

Copyright terms: Public domain