Theorem relsn 4087

Description: A singleton of an ordered pair is a relation.

Hypothesis

Ref	Expression
relsn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
relsn	|- Rel {<.A, B>.}

Proof of Theorem relsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsn.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		opelxpi 4040	. . . . 5 |- ((A e. _V /\ B e. _V) -> <.A, B>. e. (_V X. _V))
3	1, 2	mpan 759	. . . 4 |- (B e. _V -> <.A, B>. e. (_V X. _V))
4		opprc2 3171	. . . . 5 |- (-. B e. _V -> <.A, B>. = <.A, A>.)
5	1	opelxp 4036	. . . . . 6 |- (<.A, A>. e. (_V X. _V) <-> (A e. _V /\ A e. _V))
6	5, 1, 1	mpbir2an 800	. . . . 5 |- <.A, A>. e. (_V X. _V)
7	4, 6	syl6eqel 1979	. . . 4 |- (-. B e. _V -> <.A, B>. e. (_V X. _V))
8	3, 7	pm2.61i 140	. . 3 |- <.A, B>. e. (_V X. _V)
9		snssi 3129	. . 3 |- (<.A, B>. e. (_V X. _V) -> {<.A, B>.} C_ (_V X. _V))
10	8, 9	ax-mp 7	. 2 |- {<.A, B>.} C_ (_V X. _V)
11		df-rel 4001	. 2 |- (Rel {<.A, B>.} <-> {<.A, B>.} C_ (_V X. _V))
12	10, 11	mpbir 207	1 |- Rel {<.A, B>.}

Syntax hints:  -. wn 2   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  {csn 3044  <.cop 3046   X. cxp 3984  Rel wrel 3991

This theorem is referenced by:  cnvsn 4373  funsn 4463  funsnOLD 4464  iunfopabOLD 4543  fsn 4807

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001

Copyright terms: Public domain