Theorem relsdom 7561

Description: Strict dominance is a relation. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
relsdom	|- Rel ~<

Proof of Theorem relsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7560	. 2 |- Rel ~<_
2		reldif 4942	. . 3 |- ( Rel ~<_ -> Rel ( ~<_ \ ~~ ) )
3		df-sdom 7557	. . . 4 |- ~< = ( ~<_ \ ~~ )
4	3	releqi 4907	. . 3 |- ( Rel ~< <-> Rel ( ~<_ \ ~~ ) )
5	2, 4	sylibr 212	. 2 |- ( Rel ~<_ -> Rel ~< )
6	1, 5	ax-mp 5	1 |- Rel ~<

Syntax hints:   \ cdif 3411   Rel wrel 4828   ~~ cen 7551   ~<_ cdom 7552   ~< csdm 7553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-opab 4454  df-xp 4829  df-rel 4830  df-dom 7556  df-sdom 7557

This theorem is referenced by:  domdifsn  7638  sdom0  7687  sdomirr  7692  sdomdif  7703  sucdom2  7751  sdom1  7755  unxpdom  7762  unxpdom2  7763  sucxpdom  7764  isfinite2  7812  fin2inf  7817  card2on  8014  cdaxpdom  8601  cdafi  8602  cfslb2n  8680  isfin5  8711  isfin6  8712  isfin4-3  8727  fin56  8805  fin67  8807  sdomsdomcard  8967  gchi  9032  canthp1lem1  9060  canthp1lem2  9061  canthp1  9062  frgpnabl  17203  fphpd  35111