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Theorem relowlssretop 31836
Description: The lower limit topology on the reals is finer than the standard topology. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
relowlssretop.1  |-  I  =  ( [,) " ( RR  X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
relowlssretop  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  ( topGen `
 I )

Proof of Theorem relowlssretop
Dummy variables  a 
b  i  o  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11757 . . . . . 6  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5739 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 ovelrn 6464 . . . . . 6  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( o  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  o  =  ( a (,) b ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . . . . 5  |-  ( o  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  o  =  ( a (,) b ) )
5 elxr 11439 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  RR*  <->  ( b  e.  RR  \/  b  = +oo  \/  b  = -oo ) )
6 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  ->  b  e.  RR )
7 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  x  e.  RR )
86, 7anim12ci 577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )
9 relowlssretop.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  I  =  ( [,) " ( RR  X.  RR ) )
109icoreelrn 31834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) }  e.  I
)
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  e.  I )
127adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  x  e.  RR )
137leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  x  <_  x )
1413adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  x  <_  x )
156rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  ->  b  e.  RR* )
16 elioo1 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  ( x  e.  RR*  /\  a  < 
x  /\  x  <  b ) ) )
1715, 16syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  ( x  e.  RR*  /\  a  < 
x  /\  x  <  b ) ) )
1817biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( x  e.  RR*  /\  a  < 
x  /\  x  <  b ) )
1918simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  x  <  b )
20 rexr 9704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
21203anim1i 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  x  <_  x  /\  x  <  b )  ->  (
x  e.  RR*  /\  x  <_  x  /\  x  < 
b ) )
22 rexr 9704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  RR  ->  b  e.  RR* )
23 elico1 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( x [,) b )  <->  ( x  e.  RR*  /\  x  <_  x  /\  x  <  b
) ) )
2420, 22, 23syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( x [,) b )  <-> 
( x  e.  RR*  /\  x  <_  x  /\  x  <  b ) ) )
2524biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( x  e. 
RR*  /\  x  <_  x  /\  x  <  b
)  ->  x  e.  ( x [,) b
) ) )
268, 21, 25syl2im 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  x  <_  x  /\  x  <  b )  ->  x  e.  ( x [,) b
) ) )
27 icoreval 31826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( x [,) b
)  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) } )
288, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( x [,) b )  =  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } )
2928eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( x  e.  ( x [,) b
)  <->  x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
3026, 29sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  x  <_  x  /\  x  <  b )  ->  x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) } ) )
3112, 14, 19, 30mp3and 1393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  x  e.  { z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } )
32 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z ( ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  x  e.  ( a (,) b
) )
33 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) }
34 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z
( a (,) b
)
35 iooval 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
a (,) b )  =  { x  e. 
RR*  |  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) } )
3635eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  x  e.  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) } ) )
3736anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( x  e.  ( a (,) b )  /\  z  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } )  <->  ( x  e.  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) }  /\  z  e. 
{ z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) } ) ) )
3837pm5.32i 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( a (,) b )  /\  z  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )  <->  ( (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
x  e.  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) }  /\  z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) ) )
39 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  { x  e. 
RR*  |  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) }  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) ) )
40 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  <->  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) ) )
4139, 40anbi12i 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) }  /\  z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) } )  <-> 
( ( x  e. 
RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
42 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) )  ->  z  e.  RR )
4342rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) )  ->  z  e.  RR* )
4443ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  z  e.  RR* )
45 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
a  <  x  /\  x  <  b ) )  ->  x  e.  RR* )
4645, 43anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) )  ->  ( x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )
4746anim2i 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  (
a  e.  RR*  /\  (
x  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) ) )
48 3anass 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  <->  ( a  e.  RR*  /\  ( x  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) ) )
4947, 48sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  (
a  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )
50 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
a  <  x  /\  x  <  b ) )  ->  a  <  x
)
51 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) )  ->  x  <_  z
)
5250, 51anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) )  ->  ( a  <  x  /\  x  <_ 
z ) )
5352adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  (
a  <  x  /\  x  <_  z ) )
54 xrltletr 11477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( a  <  x  /\  x  <_  z )  ->  a  <  z
) )
5549, 53, 54sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  a  <  z )
56 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) )  ->  z  <  b
)
5756ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  z  <  b )
5855, 57jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  (
a  <  z  /\  z  <  b ) )
59 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  ( a  <  z  /\  z  < 
b ) }  <->  ( z  e.  RR*  /\  ( a  <  z  /\  z  <  b ) ) )
6044, 58, 59sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  z  e.  { z  e.  RR*  |  ( a  <  z  /\  z  <  b ) } )
6160adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  e. 
RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  -> 
z  e.  { z  e.  RR*  |  (
a  <  z  /\  z  <  b ) } )
62 iooval 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
a (,) b )  =  { z  e. 
RR*  |  ( a  <  z  /\  z  < 
b ) } )
6362adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  e. 
RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  -> 
( a (,) b
)  =  { z  e.  RR*  |  (
a  <  z  /\  z  <  b ) } )
6461, 63eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  e. 
RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  -> 
z  e.  ( a (,) b ) )
6541, 64sylan2b 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( x  e.  {
x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) }  /\  z  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )  -> 
z  e.  ( a (,) b ) )
6638, 65sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( a (,) b )  /\  z  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )  -> 
z  e.  ( a (,) b ) )
6766expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) }  ->  z  e.  ( a (,) b
) ) )
6832, 33, 34, 67ssrd 3423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  C_  ( a (,) b
) )
6922, 68sylanl2 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  C_  ( a (,) b
) )
70 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( x  e.  i  <->  x  e.  { z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
71 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( i  C_  ( a (,) b )  <->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  C_  ( a (,) b
) ) )
7270, 71anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( ( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) )  <->  ( x  e. 
{ z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  C_  ( a (,) b ) ) ) )
7372rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) }  e.  I  /\  ( x  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) } 
C_  ( a (,) b ) ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) )
7411, 31, 69, 73syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
7574ancom1s 822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
7675expl 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  RR  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
777adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = +oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  x  e.  RR )
78 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = +oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
809icoreelrn 31834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x  +  1
)  e.  RR )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  e.  I )
8177, 79, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = +oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  e.  I )
82 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( a (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
8382adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
8483leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  x  <_  x )
8583ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
8683, 84, 85jca32 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  ( x  <_  x  /\  x  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
87 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  x  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  x ) )
88 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  x  ->  (
z  <  ( x  +  1 )  <->  x  <  ( x  +  1 ) ) )
8987, 88anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( x  <_  x  /\  x  <  ( x  +  1 ) ) ) )
9089elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  <->  ( x  e.  RR  /\  ( x  <_  x  /\  x  <  ( x  +  1 ) ) ) )
9186, 90sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) } )
92 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ z ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )
93 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ z { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }
94 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ z
( a (,) +oo )
95 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  <->  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )
96 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  z  e.  RR )
97 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  a  e.  RR* )
9883adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
9998rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR* )
10096rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  z  e.  RR* )
101 elioopnf 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( a (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  a  < 
x ) ) )
102101simplbda 636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  a  <  x )
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  a  <  x
)
104 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  x  <_  z
)
105104adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  z
)
10697, 99, 100, 103, 105xrltletrd 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  a  <  z
)
107 elioopnf 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  e.  RR*  ->  ( z  e.  ( a (,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  a  < 
z ) ) )
108107biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  e.  RR*  ->  ( ( z  e.  RR  /\  a  <  z )  -> 
z  e.  ( a (,) +oo ) ) )
109108adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
( z  e.  RR  /\  a  <  z )  ->  z  e.  ( a (,) +oo )
) )
110109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  RR  /\  a  <  z )  ->  z  e.  ( a (,) +oo ) ) )
11196, 106, 110mp2and 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  z  e.  ( a (,) +oo )
)
112111ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) )  ->  z  e.  ( a (,) +oo ) ) )
11395, 112syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) }  ->  z  e.  ( a (,) +oo )
) )
11492, 93, 94, 113ssrd 3423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) } 
C_  ( a (,) +oo ) )
11591, 114jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) +oo ) ) )
116 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  = +oo  ->  (
a (,) b )  =  ( a (,) +oo ) )
117116eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  = +oo  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  x  e.  ( a (,) +oo ) ) )
118117anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  = +oo  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  <-> 
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) ) ) )
119116sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  = +oo  ->  ( { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  (
a (,) b )  <->  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  (
a (,) +oo )
) )
120119anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  = +oo  ->  (
( x  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) } 
C_  ( a (,) b ) )  <->  ( x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) +oo ) ) ) )
121118, 120imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  = +oo  ->  (
( ( a  e. 
RR*  /\  x  e.  ( a (,) b
) )  ->  (
x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b
) ) )  <->  ( (
a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) +oo ) ) ) ) )
122115, 121mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  = +oo  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( x  e. 
{ z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b ) ) ) )
123122impl 632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  = +oo  /\  a  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b ) ) )
124123ancom1s 822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = +oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b ) ) )
125 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( x  e.  i  <->  x  e.  { z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) } ) )
126 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( i  C_  ( a (,) b )  <->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b
) ) )
127125, 126anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( ( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) )  <->  ( x  e. 
{ z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b ) ) ) )
128127rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  e.  I  /\  ( x  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) } 
C_  ( a (,) b ) ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) )
12981, 124, 128syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = +oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
130129ancom1s 822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  = +oo  /\  a  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
131130expl 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  = +oo  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
1327adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  x  e.  RR )
133 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  = -oo  ->  (
a (,) b )  =  ( a (,) -oo ) )
134133eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  = -oo  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  x  e.  ( a (,) -oo ) ) )
135134adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  x  e.  ( a (,) -oo ) ) )
136135pm5.32i 649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  <->  ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  ( a (,) -oo ) ) )
137 nltmnf 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  < -oo )
138137intnand 930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  (
a  <  x  /\  x  < -oo ) )
139 eliooord 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) -oo )  ->  ( a  <  x  /\  x  < -oo ) )
140138, 139nsyl 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  e.  ( a (,) -oo ) )
141140pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( a (,) -oo )  ->  ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) ) )
142141impd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x  e.  ( a (,) -oo )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )
)  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
143142ancomsd 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  (
a (,) -oo )
)  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
144136, 143syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
14520, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( a  e. 
RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  ( a (,) b
) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
146132, 145mpcom 36 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
147146ancom1s 822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  = -oo  /\  a  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
148147expl 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  = -oo  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
14976, 131, 1483jaoi 1357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  RR  \/  b  = +oo  \/  b  = -oo )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
1505, 149sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  RR*  ->  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b
) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
151150expdimp 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
152151ancoms 460 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
153 eleq2 2538 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ( a (,) b )  ->  (
x  e.  o  <->  x  e.  ( a (,) b
) ) )
154 sseq2 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( a (,) b )  ->  (
i  C_  o  <->  i  C_  ( a (,) b
) ) )
155154anbi2d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  i  /\  i  C_  o
)  <->  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
156155rexbidv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ( a (,) b )  ->  ( E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
)  <->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
157153, 156imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) )  <->  ( x  e.  ( a (,) b
)  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) ) )
158152, 157syl5ibrcom 230 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
o  =  ( a (,) b )  -> 
( x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) ) )
159158rexlimivv 2876 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  o  =  ( a (,) b )  ->  ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  o ) ) )
1604, 159sylbi 200 . . . 4  |-  ( o  e.  ran  (,)  ->  ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) )
161160rgen 2766 . . 3  |-  A. o  e.  ran  (,) ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  o ) )
162161rgenw 2768 . 2  |-  A. x  e.  RR  A. o  e. 
ran  (,) ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  o ) )
163 iooex 11684 . . . . 5  |-  (,)  e.  _V
164163rnex 6746 . . . 4  |-  ran  (,)  e.  _V
165 unirnioo 11759 . . . . 5  |-  RR  =  U. ran  (,)
1669icoreunrn 31832 . . . . 5  |-  RR  =  U. I
167165, 166eqtr3i 2495 . . . 4  |-  U. ran  (,)  =  U. I
168 tgss2 20080 . . . 4  |-  ( ( ran  (,)  e.  _V  /\ 
U. ran  (,)  =  U. I )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )  C_  ( topGen `  I )  <->  A. x  e.  U. ran  (,)
A. o  e.  ran  (,) ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) ) )
169164, 167, 168mp2an 686 . . 3  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  C_  ( topGen `  I )  <->  A. x  e.  U. ran  (,)
A. o  e.  ran  (,) ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) )
170165raleqi 2977 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR  A. o  e.  ran  (,) ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  o ) )  <->  A. x  e.  U. ran  (,) A. o  e.  ran  (,) (
x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) )
171169, 170bitr4i 260 . 2  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  C_  ( topGen `  I )  <->  A. x  e.  RR  A. o  e.  ran  (,) (
x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) )
172162, 171mpbir 214 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  ( topGen `
 I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   ran crn 4840   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   topGenctg 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-topgen 15420
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