Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relowlssretop Structured version   Unicode version

Theorem relowlssretop 31713
Description: The lower limit topology on the reals is finer than the standard topology. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
relowlssretop.1  |-  I  =  ( [,) " ( RR  X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
relowlssretop  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  ( topGen `
 I )

Proof of Theorem relowlssretop
Dummy variables  a 
b  i  o  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11734 . . . . . 6  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5744 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 ovelrn 6457 . . . . . 6  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( o  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  o  =  ( a (,) b ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . . . . 5  |-  ( o  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  o  =  ( a (,) b ) )
5 elxr 11418 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  RR*  <->  ( b  e.  RR  \/  b  = +oo  \/  b  = -oo ) )
6 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  ->  b  e.  RR )
7 elioore 11668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  x  e.  RR )
86, 7anim12ci 570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )
9 relowlssretop.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  I  =  ( [,) " ( RR  X.  RR ) )
109icoreelrn 31711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) }  e.  I
)
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  e.  I )
127adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  x  e.  RR )
137leidd 10182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  x  <_  x )
1413adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  x  <_  x )
156rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  ->  b  e.  RR* )
16 elioo1 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  ( x  e.  RR*  /\  a  < 
x  /\  x  <  b ) ) )
1715, 16syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  ( x  e.  RR*  /\  a  < 
x  /\  x  <  b ) ) )
1817biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( x  e.  RR*  /\  a  < 
x  /\  x  <  b ) )
1918simp3d 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  x  <  b )
20 rexr 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
21203anim1i 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  x  <_  x  /\  x  <  b )  ->  (
x  e.  RR*  /\  x  <_  x  /\  x  < 
b ) )
22 rexr 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  RR  ->  b  e.  RR* )
23 elico1 11681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( x [,) b )  <->  ( x  e.  RR*  /\  x  <_  x  /\  x  <  b
) ) )
2420, 22, 23syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( x [,) b )  <-> 
( x  e.  RR*  /\  x  <_  x  /\  x  <  b ) ) )
2524biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( x  e. 
RR*  /\  x  <_  x  /\  x  <  b
)  ->  x  e.  ( x [,) b
) ) )
268, 21, 25syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  x  <_  x  /\  x  <  b )  ->  x  e.  ( x [,) b
) ) )
27 icoreval 31703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( x [,) b
)  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) } )
288, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( x [,) b )  =  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } )
2928eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( x  e.  ( x [,) b
)  <->  x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
3026, 29sylibd 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  x  <_  x  /\  x  <  b )  ->  x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) } ) )
3112, 14, 19, 30mp3and 1364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  x  e.  { z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } )
32 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z ( ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  x  e.  ( a (,) b
) )
33 nfrab1 3010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) }
34 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z
( a (,) b
)
35 iooval 11662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
a (,) b )  =  { x  e. 
RR*  |  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) } )
3635eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  x  e.  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) } ) )
3736anbi1d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( x  e.  ( a (,) b )  /\  z  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } )  <->  ( x  e.  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) }  /\  z  e. 
{ z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) } ) ) )
3837pm5.32i 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( a (,) b )  /\  z  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )  <->  ( (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
x  e.  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) }  /\  z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) ) )
39 rabid 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  { x  e. 
RR*  |  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) }  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) ) )
40 rabid 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  <->  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) ) )
4139, 40anbi12i 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) }  /\  z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) } )  <-> 
( ( x  e. 
RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
42 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) )  ->  z  e.  RR )
4342rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) )  ->  z  e.  RR* )
4443ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  z  e.  RR* )
45 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
a  <  x  /\  x  <  b ) )  ->  x  e.  RR* )
4645, 43anim12i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) )  ->  ( x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )
4746anim2i 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  (
a  e.  RR*  /\  (
x  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) ) )
48 3anass 987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  <->  ( a  e.  RR*  /\  ( x  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) ) )
4947, 48sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  (
a  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )
50 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
a  <  x  /\  x  <  b ) )  ->  a  <  x
)
51 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) )  ->  x  <_  z
)
5250, 51anim12i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) )  ->  ( a  <  x  /\  x  <_ 
z ) )
5352adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  (
a  <  x  /\  x  <_  z ) )
54 xrltletr 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( a  <  x  /\  x  <_  z )  ->  a  <  z
) )
5549, 53, 54sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  a  <  z )
56 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) )  ->  z  <  b
)
5756ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  z  <  b )
5855, 57jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  (
a  <  z  /\  z  <  b ) )
59 rabid 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  ( a  <  z  /\  z  < 
b ) }  <->  ( z  e.  RR*  /\  ( a  <  z  /\  z  <  b ) ) )
6044, 58, 59sylanbrc 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
( x  e.  RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  ->  z  e.  { z  e.  RR*  |  ( a  <  z  /\  z  <  b ) } )
6160adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  e. 
RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  -> 
z  e.  { z  e.  RR*  |  (
a  <  z  /\  z  <  b ) } )
62 iooval 11662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
a (,) b )  =  { z  e. 
RR*  |  ( a  <  z  /\  z  < 
b ) } )
6362adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  e. 
RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  -> 
( a (,) b
)  =  { z  e.  RR*  |  (
a  <  z  /\  z  <  b ) } )
6461, 63eleqtrrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  e. 
RR*  /\  ( a  <  x  /\  x  < 
b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )  -> 
z  e.  ( a (,) b ) )
6541, 64sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( x  e.  {
x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) }  /\  z  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )  -> 
z  e.  ( a (,) b ) )
6638, 65sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( x  e.  ( a (,) b )  /\  z  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )  -> 
z  e.  ( a (,) b ) )
6766expr 619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) }  ->  z  e.  ( a (,) b
) ) )
6832, 33, 34, 67ssrd 3470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  C_  ( a (,) b
) )
6922, 68sylanl2 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  C_  ( a (,) b
) )
70 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( x  e.  i  <->  x  e.  { z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
71 sseq1 3486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( i  C_  ( a (,) b )  <->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  C_  ( a (,) b
) ) )
7270, 71anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( ( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) )  <->  ( x  e. 
{ z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  C_  ( a (,) b ) ) ) )
7372rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  b ) }  e.  I  /\  ( x  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  b ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  b ) } 
C_  ( a (,) b ) ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) )
7411, 31, 69, 73syl12anc 1263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
7574ancom1s 813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
7675expl 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  RR  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
777adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = +oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  x  e.  RR )
78 peano2re 9808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = +oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
809icoreelrn 31711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x  +  1
)  e.  RR )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  e.  I )
8177, 79, 80syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = +oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  e.  I )
82 elioore 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( a (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
8382adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
8483leidd 10182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  x  <_  x )
8583ltp1d 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
8683, 84, 85jca32 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  ( x  <_  x  /\  x  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
87 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  x  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  x ) )
88 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  x  ->  (
z  <  ( x  +  1 )  <->  x  <  ( x  +  1 ) ) )
8987, 88anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( x  <_  x  /\  x  <  ( x  +  1 ) ) ) )
9089elrab 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  <->  ( x  e.  RR  /\  ( x  <_  x  /\  x  <  ( x  +  1 ) ) ) )
9186, 90sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) } )
92 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ z ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )
93 nfrab1 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ z { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }
94 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ z
( a (,) +oo )
95 rabid 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  <->  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )
96 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  z  e.  RR )
97 simpll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  a  e.  RR* )
9883adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
9998rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR* )
10096rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  z  e.  RR* )
101 elioopnf 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( a (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  a  < 
x ) ) )
102101simplbda 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  a  <  x )
103102adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  a  <  x
)
104 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  x  <_  z
)
105104adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  z
)
10697, 99, 100, 103, 105xrltletrd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  a  <  z
)
107 elioopnf 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  e.  RR*  ->  ( z  e.  ( a (,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  a  < 
z ) ) )
108107biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  e.  RR*  ->  ( ( z  e.  RR  /\  a  <  z )  -> 
z  e.  ( a (,) +oo ) ) )
109108adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
( z  e.  RR  /\  a  <  z )  ->  z  e.  ( a (,) +oo )
) )
110109adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  RR  /\  a  <  z )  ->  z  e.  ( a (,) +oo ) ) )
11196, 106, 110mp2and 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) ) )  ->  z  e.  ( a (,) +oo )
)
112111ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) )  ->  z  e.  ( a (,) +oo ) ) )
11395, 112syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) }  ->  z  e.  ( a (,) +oo )
) )
11492, 93, 94, 113ssrd 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) } 
C_  ( a (,) +oo ) )
11591, 114jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) +oo ) ) )
116 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  = +oo  ->  (
a (,) b )  =  ( a (,) +oo ) )
117116eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  = +oo  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  x  e.  ( a (,) +oo ) ) )
118117anbi2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  = +oo  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  <-> 
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) ) ) )
119116sseq2d 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  = +oo  ->  ( { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  (
a (,) b )  <->  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  (
a (,) +oo )
) )
120119anbi2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  = +oo  ->  (
( x  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) } 
C_  ( a (,) b ) )  <->  ( x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) +oo ) ) ) )
121118, 120imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  = +oo  ->  (
( ( a  e. 
RR*  /\  x  e.  ( a (,) b
) )  ->  (
x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b
) ) )  <->  ( (
a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) +oo ) )  ->  (
x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) +oo ) ) ) ) )
122115, 121mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  = +oo  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  ( x  e. 
{ z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b ) ) ) )
123122impl 625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  = +oo  /\  a  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b ) ) )
124123ancom1s 813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = +oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( x  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b ) ) )
125 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( x  e.  i  <->  x  e.  { z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) } ) )
126 sseq1 3486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( i  C_  ( a (,) b )  <->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b
) ) )
127125, 126anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( ( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) )  <->  ( x  e. 
{ z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  C_  ( a (,) b ) ) ) )
128127rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  e.  I  /\  ( x  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  ( x  +  1 ) ) }  /\  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  ( x  + 
1 ) ) } 
C_  ( a (,) b ) ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) )
12981, 124, 128syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = +oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
130129ancom1s 813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  = +oo  /\  a  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
131130expl 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  = +oo  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
1327adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  x  e.  RR )
133 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  = -oo  ->  (
a (,) b )  =  ( a (,) -oo ) )
134133eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  = -oo  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  x  e.  ( a (,) -oo ) ) )
135134adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  <->  x  e.  ( a (,) -oo ) ) )
136135pm5.32i 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  <->  ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  ( a (,) -oo ) ) )
137 nltmnf 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  < -oo )
138137intnand 925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  (
a  <  x  /\  x  < -oo ) )
139 eliooord 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) -oo )  ->  ( a  <  x  /\  x  < -oo ) )
140138, 139nsyl 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  e.  ( a (,) -oo ) )
141140pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( a (,) -oo )  ->  ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) ) )
142141impd 433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x  e.  ( a (,) -oo )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )
)  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
143142ancomsd 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  (
a (,) -oo )
)  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
144136, 143syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
14520, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( a  e. 
RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  ( a (,) b
) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
146132, 145mpcom 38 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  = -oo )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
147146ancom1s 813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  = -oo  /\  a  e.  RR* )  /\  x  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) )
148147expl 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  = -oo  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
14976, 131, 1483jaoi 1328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  RR  \/  b  = +oo  \/  b  = -oo )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b ) )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
1505, 149sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  RR*  ->  ( ( a  e.  RR*  /\  x  e.  ( a (,) b
) )  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
151150expdimp 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
152151ancoms 455 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( a (,) b )  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
153 eleq2 2496 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ( a (,) b )  ->  (
x  e.  o  <->  x  e.  ( a (,) b
) ) )
154 sseq2 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( a (,) b )  ->  (
i  C_  o  <->  i  C_  ( a (,) b
) ) )
155154anbi2d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  i  /\  i  C_  o
)  <->  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) )
156155rexbidv 2940 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ( a (,) b )  ->  ( E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
)  <->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  (
a (,) b ) ) ) )
157153, 156imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) )  <->  ( x  e.  ( a (,) b
)  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  ( a (,) b
) ) ) ) )
158152, 157syl5ibrcom 226 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
o  =  ( a (,) b )  -> 
( x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) ) )
159158rexlimivv 2923 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  o  =  ( a (,) b )  ->  ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  o ) ) )
1604, 159sylbi 199 . . . 4  |-  ( o  e.  ran  (,)  ->  ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) )
161160rgen 2786 . . 3  |-  A. o  e.  ran  (,) ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  o ) )
162161rgenw 2787 . 2  |-  A. x  e.  RR  A. o  e. 
ran  (,) ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  o ) )
163 iooex 11661 . . . . 5  |-  (,)  e.  _V
164163rnex 6739 . . . 4  |-  ran  (,)  e.  _V
165 unirnioo 11736 . . . . 5  |-  RR  =  U. ran  (,)
1669icoreunrn 31709 . . . . 5  |-  RR  =  U. I
167165, 166eqtr3i 2454 . . . 4  |-  U. ran  (,)  =  U. I
168 tgss2 19995 . . . 4  |-  ( ( ran  (,)  e.  _V  /\ 
U. ran  (,)  =  U. I )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )  C_  ( topGen `  I )  <->  A. x  e.  U. ran  (,)
A. o  e.  ran  (,) ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) ) )
169164, 167, 168mp2an 677 . . 3  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  C_  ( topGen `  I )  <->  A. x  e.  U. ran  (,)
A. o  e.  ran  (,) ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) )
170165raleqi 3030 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR  A. o  e.  ran  (,) ( x  e.  o  ->  E. i  e.  I  ( x  e.  i  /\  i  C_  o ) )  <->  A. x  e.  U. ran  (,) A. o  e.  ran  (,) (
x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) )
171169, 170bitr4i 256 . 2  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  C_  ( topGen `  I )  <->  A. x  e.  RR  A. o  e.  ran  (,) (
x  e.  o  ->  E. i  e.  I 
( x  e.  i  /\  i  C_  o
) ) )
172162, 171mpbir 213 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  ( topGen `
 I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    \/ w3o 982    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   U.cuni 4217   class class class wbr 4421    X. cxp 4849   ran crn 4852   "cima 4854    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540   1c1 9542    + caddc 9544   +oocpnf 9674   -oocmnf 9675   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678   (,)cioo 11637   [,)cico 11639   topGenctg 15329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-ioo 11641  df-ico 11643  df-topgen 15335
This theorem is referenced by:  relowlpssretop  31714
  Copyright terms: Public domain W3C validator