MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcld Structured version   Unicode version

Theorem relogcld 22188
Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
relogcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
relogcld  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem relogcld
StepHypRef Expression
1 relogcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 relogcl 22143 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   ` cfv 5516   RRcr 9382   RR+crp 11092   logclog 22122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-sin 13457  df-cos 13458  df-pi 13460  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-limc 21457  df-dv 21458  df-log 22124
This theorem is referenced by:  logcnlem3  22205  advlogexp  22216  logccv  22224  recxpcl  22236  cxpsqr  22264  loglesqr  22312  ang180lem2  22322  isosctrlem2  22333  atanlogaddlem  22424  atantan  22434  birthdaylem2  22462  birthdaylem3  22463  amgmlem  22499  emcllem1  22505  emcllem2  22506  emcllem3  22507  emcllem4  22508  emcllem5  22509  emcllem6  22510  harmonicubnd  22519  fsumharmonic  22521  chtf  22562  efchtcl  22565  chtge0  22566  vmacl  22572  chtprm  22607  chtdif  22612  efchtdvds  22613  prmorcht  22632  vmalelog  22660  chtleppi  22665  chtublem  22666  fsumvma2  22669  pclogsum  22670  vmasum  22671  chpval2  22673  chpchtsum  22674  chpub  22675  logfacubnd  22676  logfaclbnd  22677  logexprlim  22680  logfacrlim2  22681  bposlem1  22739  bposlem9  22747  chebbnd1lem1  22834  chebbnd1lem2  22835  chebbnd1lem3  22836  chtppilimlem1  22838  chpchtlim  22844  vmadivsum  22847  vmadivsumb  22848  rplogsumlem1  22849  rplogsumlem2  22850  rpvmasumlem  22852  dchrvmasumlem1  22860  dchrvmasum2lem  22861  dchrvmasum2if  22862  dchrvmasumiflem1  22866  dchrvmasumiflem2  22867  rplogsum  22892  mulogsumlem  22896  mulogsum  22897  mulog2sumlem1  22899  mulog2sumlem2  22900  mulog2sumlem3  22901  vmalogdivsum2  22903  vmalogdivsum  22904  2vmadivsumlem  22905  logsqvma  22907  logsqvma2  22908  log2sumbnd  22909  selberglem2  22911  selbergb  22914  selberg2lem  22915  selberg2b  22917  chpdifbndlem1  22918  chpdifbndlem2  22919  logdivbnd  22921  selberg3lem1  22922  selberg3lem2  22923  selberg3  22924  selberg4lem1  22925  selberg4  22926  selberg3r  22934  selberg4r  22935  selberg34r  22936  pntsf  22938  pntsval2  22941  pntrlog2bndlem1  22942  pntrlog2bndlem2  22943  pntrlog2bndlem3  22944  pntrlog2bndlem4  22945  pntrlog2bndlem5  22946  pntrlog2bndlem6  22948  pntrlog2bnd  22949  pntpbnd1a  22950  pntpbnd2  22952  pntibndlem2  22956  pntlemb  22962  pntlemg  22963  pntlemh  22964  pntlemn  22965  pntlemr  22967  pntlemj  22968  pntlemf  22970  pntlemk  22971  pntlemo  22972  ostth2lem4  23001  ostth2  23002  ostth3  23003  xrge0iifcnv  26497  xrge0iifiso  26499  xrge0iifhom  26501  rnlogbcl  26594  logbrec  26598  logblt  26599  zetacvg  27135  lgamgulmlem3  27151  lgamgulmlem4  27152  lgamgulmlem5  27153  lgamgulmlem6  27154  lgamgulm2  27156  lgambdd  27157  lgamcvg2  27175  gamcvg  27176  gamcvg2lem  27179  relgamcl  27182  lgam1  27184  stirlinglem4  30010  stirlinglem11  30017  stirlinglem12  30018  stirlinglem13  30019
  Copyright terms: Public domain W3C validator