MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcld Structured version   Unicode version

Theorem relogcld 22880
Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
relogcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
relogcld  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem relogcld
StepHypRef Expression
1 relogcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 relogcl 22835 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   ` cfv 5578   RRcr 9494   RR+crp 11229   logclog 22814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-limc 22143  df-dv 22144  df-log 22816
This theorem is referenced by:  logcnlem3  22897  advlogexp  22908  logccv  22916  recxpcl  22928  cxpsqrt  22956  loglesqrt  23004  ang180lem2  23014  isosctrlem2  23025  atanlogaddlem  23116  atantan  23126  birthdaylem2  23154  birthdaylem3  23155  amgmlem  23191  emcllem1  23197  emcllem2  23198  emcllem3  23199  emcllem4  23200  emcllem5  23201  emcllem6  23202  harmonicubnd  23211  fsumharmonic  23213  chtf  23254  efchtcl  23257  chtge0  23258  vmacl  23264  chtprm  23299  chtdif  23304  efchtdvds  23305  prmorcht  23324  vmalelog  23352  chtleppi  23357  chtublem  23358  fsumvma2  23361  pclogsum  23362  vmasum  23363  chpval2  23365  chpchtsum  23366  chpub  23367  logfacubnd  23368  logfaclbnd  23369  logexprlim  23372  logfacrlim2  23373  bposlem1  23431  bposlem9  23439  chebbnd1lem1  23526  chebbnd1lem2  23527  chebbnd1lem3  23528  chtppilimlem1  23530  chpchtlim  23536  vmadivsum  23539  vmadivsumb  23540  rplogsumlem1  23541  rplogsumlem2  23542  rpvmasumlem  23544  dchrvmasumlem1  23552  dchrvmasum2lem  23553  dchrvmasum2if  23554  dchrvmasumiflem1  23558  dchrvmasumiflem2  23559  rplogsum  23584  mulogsumlem  23588  mulogsum  23589  mulog2sumlem1  23591  mulog2sumlem2  23592  mulog2sumlem3  23593  vmalogdivsum2  23595  vmalogdivsum  23596  2vmadivsumlem  23597  logsqvma  23599  logsqvma2  23600  log2sumbnd  23601  selberglem2  23603  selbergb  23606  selberg2lem  23607  selberg2b  23609  chpdifbndlem1  23610  chpdifbndlem2  23611  logdivbnd  23613  selberg3lem1  23614  selberg3lem2  23615  selberg3  23616  selberg4lem1  23617  selberg4  23618  selberg3r  23626  selberg4r  23627  selberg34r  23628  pntsf  23630  pntsval2  23633  pntrlog2bndlem1  23634  pntrlog2bndlem2  23635  pntrlog2bndlem3  23636  pntrlog2bndlem4  23637  pntrlog2bndlem5  23638  pntrlog2bndlem6  23640  pntrlog2bnd  23641  pntpbnd1a  23642  pntpbnd2  23644  pntibndlem2  23648  pntlemb  23654  pntlemg  23655  pntlemh  23656  pntlemn  23657  pntlemr  23659  pntlemj  23660  pntlemf  23662  pntlemk  23663  pntlemo  23664  ostth2lem4  23693  ostth2  23694  ostth3  23695  xrge0iifcnv  27788  xrge0iifiso  27790  xrge0iifhom  27792  rnlogbcl  27890  logbrec  27894  logblt  27895  zetacvg  28430  lgamgulmlem3  28446  lgamgulmlem4  28447  lgamgulmlem5  28448  lgamgulmlem6  28449  lgamgulm2  28451  lgambdd  28452  lgamcvg2  28470  gamcvg  28471  gamcvg2lem  28474  relgamcl  28477  lgam1  28479  stirlinglem4  31748  stirlinglem11  31755  stirlinglem12  31756  stirlinglem13  31757
  Copyright terms: Public domain W3C validator