MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcld Unicode version

Theorem relogcld 20471
Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
relogcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
relogcld  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem relogcld
StepHypRef Expression
1 relogcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 relogcl 20426 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   ` cfv 5413   RRcr 8945   RR+crp 10568   logclog 20405
This theorem is referenced by:  logcnlem3  20488  advlogexp  20499  logccv  20507  recxpcl  20519  cxpsqr  20547  loglesqr  20595  ang180lem2  20605  isosctrlem2  20616  atanlogaddlem  20706  atantan  20716  birthdaylem2  20744  birthdaylem3  20745  amgmlem  20781  emcllem1  20787  emcllem2  20788  emcllem3  20789  emcllem4  20790  emcllem5  20791  emcllem6  20792  harmonicubnd  20801  fsumharmonic  20803  chtf  20844  efchtcl  20847  chtge0  20848  vmacl  20854  chtprm  20889  chtdif  20894  efchtdvds  20895  prmorcht  20914  vmalelog  20942  chtleppi  20947  chtublem  20948  fsumvma2  20951  pclogsum  20952  vmasum  20953  chpval2  20955  chpchtsum  20956  chpub  20957  logfacubnd  20958  logfaclbnd  20959  logexprlim  20962  logfacrlim2  20963  bposlem1  21021  bposlem9  21029  chebbnd1lem1  21116  chebbnd1lem2  21117  chebbnd1lem3  21118  chtppilimlem1  21120  chpchtlim  21126  vmadivsum  21129  vmadivsumb  21130  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrvmasumlem1  21142  dchrvmasum2lem  21143  dchrvmasum2if  21144  dchrvmasumiflem1  21148  dchrvmasumiflem2  21149  rplogsum  21174  mulogsumlem  21178  mulogsum  21179  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  mulog2sumlem3  21183  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  logsqvma  21189  logsqvma2  21190  log2sumbnd  21191  selberglem2  21193  selbergb  21196  selberg2lem  21197  selberg2b  21199  chpdifbndlem1  21200  chpdifbndlem2  21201  logdivbnd  21203  selberg3lem1  21204  selberg3lem2  21205  selberg3  21206  selberg4lem1  21207  selberg4  21208  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntsf  21220  pntsval2  21223  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntpbnd1a  21232  pntpbnd2  21234  pntibndlem2  21238  pntlemb  21244  pntlemg  21245  pntlemh  21246  pntlemn  21247  pntlemr  21249  pntlemj  21250  pntlemf  21252  pntlemk  21253  pntlemo  21254  ostth2lem4  21283  ostth2  21284  ostth3  21285  xrge0iifcnv  24272  xrge0iifiso  24274  xrge0iifhom  24276  rnlogbcl  24354  logbrec  24358  logblt  24359  zetacvg  24752  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem4  24769  lgamgulmlem5  24770  lgamgulmlem6  24771  lgamgulm2  24773  lgambdd  24774  lgamcvg2  24792  gamcvg  24793  gamcvg2lem  24796  relgamcl  24799  lgam1  24801  stirlinglem4  27693  stirlinglem11  27700  stirlinglem12  27701  stirlinglem13  27702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407
  Copyright terms: Public domain W3C validator