MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcld Structured version   Unicode version

Theorem relogcld 22052
Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
relogcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
relogcld  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem relogcld
StepHypRef Expression
1 relogcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 relogcl 22007 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   ` cfv 5413   RRcr 9273   RR+crp 10983   logclog 21986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988
This theorem is referenced by:  logcnlem3  22069  advlogexp  22080  logccv  22088  recxpcl  22100  cxpsqr  22128  loglesqr  22176  ang180lem2  22186  isosctrlem2  22197  atanlogaddlem  22288  atantan  22298  birthdaylem2  22326  birthdaylem3  22327  amgmlem  22363  emcllem1  22369  emcllem2  22370  emcllem3  22371  emcllem4  22372  emcllem5  22373  emcllem6  22374  harmonicubnd  22383  fsumharmonic  22385  chtf  22426  efchtcl  22429  chtge0  22430  vmacl  22436  chtprm  22471  chtdif  22476  efchtdvds  22477  prmorcht  22496  vmalelog  22524  chtleppi  22529  chtublem  22530  fsumvma2  22533  pclogsum  22534  vmasum  22535  chpval2  22537  chpchtsum  22538  chpub  22539  logfacubnd  22540  logfaclbnd  22541  logexprlim  22544  logfacrlim2  22545  bposlem1  22603  bposlem9  22611  chebbnd1lem1  22698  chebbnd1lem2  22699  chebbnd1lem3  22700  chtppilimlem1  22702  chpchtlim  22708  vmadivsum  22711  vmadivsumb  22712  rplogsumlem1  22713  rplogsumlem2  22714  rpvmasumlem  22716  dchrvmasumlem1  22724  dchrvmasum2lem  22725  dchrvmasum2if  22726  dchrvmasumiflem1  22730  dchrvmasumiflem2  22731  rplogsum  22756  mulogsumlem  22760  mulogsum  22761  mulog2sumlem1  22763  mulog2sumlem2  22764  mulog2sumlem3  22765  vmalogdivsum2  22767  vmalogdivsum  22768  2vmadivsumlem  22769  logsqvma  22771  logsqvma2  22772  log2sumbnd  22773  selberglem2  22775  selbergb  22778  selberg2lem  22779  selberg2b  22781  chpdifbndlem1  22782  chpdifbndlem2  22783  logdivbnd  22785  selberg3lem1  22786  selberg3lem2  22787  selberg3  22788  selberg4lem1  22789  selberg4  22790  selberg3r  22798  selberg4r  22799  selberg34r  22800  pntsf  22802  pntsval2  22805  pntrlog2bndlem1  22806  pntrlog2bndlem2  22807  pntrlog2bndlem3  22808  pntrlog2bndlem4  22809  pntrlog2bndlem5  22810  pntrlog2bndlem6  22812  pntrlog2bnd  22813  pntpbnd1a  22814  pntpbnd2  22816  pntibndlem2  22820  pntlemb  22826  pntlemg  22827  pntlemh  22828  pntlemn  22829  pntlemr  22831  pntlemj  22832  pntlemf  22834  pntlemk  22835  pntlemo  22836  ostth2lem4  22865  ostth2  22866  ostth3  22867  xrge0iifcnv  26332  xrge0iifiso  26334  xrge0iifhom  26336  rnlogbcl  26429  logbrec  26433  logblt  26434  zetacvg  26970  lgamgulmlem3  26986  lgamgulmlem4  26987  lgamgulmlem5  26988  lgamgulmlem6  26989  lgamgulm2  26991  lgambdd  26992  lgamcvg2  27010  gamcvg  27011  gamcvg2lem  27014  relgamcl  27017  lgam1  27019  stirlinglem4  29843  stirlinglem11  29850  stirlinglem12  29851  stirlinglem13  29852
  Copyright terms: Public domain W3C validator