MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcld Structured version   Unicode version

Theorem relogcld 23176
Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
relogcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
relogcld  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem relogcld
StepHypRef Expression
1 relogcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 relogcl 23129 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   ` cfv 5570   RRcr 9480   RR+crp 11221   logclog 23108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110
This theorem is referenced by:  logcnlem3  23193  advlogexp  23204  logccv  23212  recxpcl  23224  cxpsqrt  23252  loglesqrt  23300  logbrec  23321  logbleb  23322  logblt  23323  ang180lem2  23341  isosctrlem2  23350  atanlogaddlem  23441  atantan  23451  birthdaylem2  23480  birthdaylem3  23481  amgmlem  23517  emcllem1  23523  emcllem2  23524  emcllem3  23525  emcllem4  23526  emcllem5  23527  emcllem6  23528  harmonicubnd  23537  fsumharmonic  23539  chtf  23580  efchtcl  23583  chtge0  23584  vmacl  23590  chtprm  23625  chtdif  23630  efchtdvds  23631  prmorcht  23650  vmalelog  23678  chtleppi  23683  chtublem  23684  fsumvma2  23687  pclogsum  23688  vmasum  23689  chpval2  23691  chpchtsum  23692  chpub  23693  logfacubnd  23694  logfaclbnd  23695  logexprlim  23698  logfacrlim2  23699  bposlem1  23757  bposlem9  23765  chebbnd1lem1  23852  chebbnd1lem2  23853  chebbnd1lem3  23854  chtppilimlem1  23856  chpchtlim  23862  vmadivsum  23865  vmadivsumb  23866  rplogsumlem1  23867  rplogsumlem2  23868  rpvmasumlem  23870  dchrvmasumlem1  23878  dchrvmasum2lem  23879  dchrvmasum2if  23880  dchrvmasumiflem1  23884  dchrvmasumiflem2  23885  rplogsum  23910  mulogsumlem  23914  mulogsum  23915  mulog2sumlem1  23917  mulog2sumlem2  23918  mulog2sumlem3  23919  vmalogdivsum2  23921  vmalogdivsum  23922  2vmadivsumlem  23923  logsqvma  23925  logsqvma2  23926  log2sumbnd  23927  selberglem2  23929  selbergb  23932  selberg2lem  23933  selberg2b  23935  chpdifbndlem1  23936  chpdifbndlem2  23937  logdivbnd  23939  selberg3lem1  23940  selberg3lem2  23941  selberg3  23942  selberg4lem1  23943  selberg4  23944  selberg3r  23952  selberg4r  23953  selberg34r  23954  pntsf  23956  pntsval2  23959  pntrlog2bndlem1  23960  pntrlog2bndlem2  23961  pntrlog2bndlem3  23962  pntrlog2bndlem4  23963  pntrlog2bndlem5  23964  pntrlog2bndlem6  23966  pntrlog2bnd  23967  pntpbnd1a  23968  pntpbnd2  23970  pntibndlem2  23974  pntlemb  23980  pntlemg  23981  pntlemh  23982  pntlemn  23983  pntlemr  23985  pntlemj  23986  pntlemf  23988  pntlemk  23989  pntlemo  23990  ostth2lem4  24019  ostth2  24020  ostth3  24021  xrge0iifcnv  28150  xrge0iifiso  28152  xrge0iifhom  28154  zetacvg  28821  lgamgulmlem3  28837  lgamgulmlem4  28838  lgamgulmlem5  28839  lgamgulmlem6  28840  lgamgulm2  28842  lgambdd  28843  lgamcvg2  28861  gamcvg  28862  gamcvg2lem  28865  relgamcl  28868  lgam1  28870  stirlinglem4  32098  stirlinglem11  32105  stirlinglem12  32106  stirlinglem13  32107  rege1logbrege0  33433
  Copyright terms: Public domain W3C validator