MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcl Structured version   Unicode version

Theorem relogcl 23390
Description: Closure of the natural logarithm function on positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
relogcl  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem relogcl
StepHypRef Expression
1 fvres 5895 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A )  =  ( log `  A ) )
2 relogf1o 23381 . . . 4  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
3 f1of 5831 . . . 4  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR
54ffvelrni 6036 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A )  e.  RR )
61, 5eqeltrrd 2518 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870    |` cres 4856   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601   RRcr 9537   RR+crp 11302   logclog 23369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371
This theorem is referenced by:  logneg  23402  lognegb  23404  relogoprlem  23405  reexplog  23409  relogexp  23410  logfac  23415  logleb  23417  rplogcl  23418  logmul2  23430  logdiv2  23431  abslogle  23432  logdivlti  23434  logdivlt  23435  logdivle  23436  relogcld  23437  advlog  23464  advlogexp  23465  logccv  23473  logcxp  23479  rpcxpcl  23486  cxpmul  23498  abscxp  23502  cxple2  23507  logsqrt  23514  dvcxp1  23545  dvcxp2  23546  loglesqrt  23563  relogbcl  23575  relogbmul  23579  log2ub  23740  log2le1  23741  birthday  23745  cxploglim  23768  cxploglim2  23769  amgmlem  23780  logdifbnd  23784  emcllem7  23792  emre  23796  emgt0  23797  harmonicbnd3  23798  harmoniclbnd  23799  harmonicbnd4  23801  relgamcl  23852  cht2  23962  chtleppi  24001  chtublem  24002  chtub  24003  logfacubnd  24012  logfaclbnd  24013  logfacbnd3  24014  logfacrlim  24015  logexprlim  24016  efexple  24072  bposlem6  24080  bposlem7  24081  bposlem8  24082  bposlem9  24083  chebbnd1lem3  24172  chebbnd1  24173  chto1ub  24177  vmadivsum  24183  rpvmasumlem  24188  dchrvmasumlem2  24199  dchrvmasumlema  24201  dchrvmasumiflem1  24202  dchrvmasumiflem2  24203  dchrisum0fno1  24212  rpvmasum2  24213  dchrisum0re  24214  rpvmasum  24227  rplogsum  24228  dirith2  24229  logdivsum  24234  mulog2sumlem2  24236  mulog2sumlem3  24237  logsqvma  24243  log2sumbnd  24245  selberglem1  24246  selberglem2  24247  selberglem3  24248  selberg  24249  selberg2lem  24251  selberg2  24252  pntrsumo1  24266  selbergr  24269  pntrlog2bndlem4  24281  pntibndlem3  24293  xrge0iifiso  28580  reglogcl  35444  reglogltb  35445  reglogleb  35446  reglogmul  35447  reglogexp  35448  reglogbas  35449  reglog1  35450  stirlinglem12  37516  stirlinglem13  37517  stirlinglem14  37518  logbge0b  39135  logblt1b  39136
  Copyright terms: Public domain W3C validator