MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcl Structured version   Unicode version

Theorem relogcl 22719
Description: Closure of the natural logarithm function on positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
relogcl  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem relogcl
StepHypRef Expression
1 fvres 5880 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A )  =  ( log `  A ) )
2 relogf1o 22710 . . . 4  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
3 f1of 5816 . . . 4  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR
54ffvelrni 6020 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A )  e.  RR )
61, 5eqeltrrd 2556 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    |` cres 5001   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588   RRcr 9491   RR+crp 11220   logclog 22698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700
This theorem is referenced by:  logneg  22728  lognegb  22730  relogoprlem  22731  reexplog  22735  relogexp  22736  logfac  22741  logleb  22744  rplogcl  22745  logmul2  22757  logdiv2  22758  abslogle  22759  logdivlti  22761  logdivlt  22762  logdivle  22763  relogcld  22764  advlog  22791  advlogexp  22792  logccv  22800  logcxp  22806  rpcxpcl  22813  cxpmul  22825  abscxp  22829  cxple2  22834  logsqrt  22841  dvcxp1  22872  dvcxp2  22873  loglesqrt  22888  log2ub  23036  birthday  23040  cxploglim  23063  cxploglim2  23064  amgmlem  23075  logdifbnd  23079  emcllem7  23087  emre  23091  emgt0  23092  harmonicbnd3  23093  harmoniclbnd  23094  harmonicbnd4  23096  cht2  23202  chtleppi  23241  chtublem  23242  chtub  23243  logfacubnd  23252  logfaclbnd  23253  logfacbnd3  23254  logfacrlim  23255  logexprlim  23256  efexple  23312  bposlem6  23320  bposlem7  23321  bposlem8  23322  bposlem9  23323  chebbnd1lem3  23412  chebbnd1  23413  chto1ub  23417  vmadivsum  23423  rpvmasumlem  23428  dchrvmasumlem2  23439  dchrvmasumlema  23441  dchrvmasumiflem1  23442  dchrvmasumiflem2  23443  dchrisum0fno1  23452  rpvmasum2  23453  dchrisum0re  23454  rpvmasum  23467  rplogsum  23468  dirith2  23469  logdivsum  23474  mulog2sumlem2  23476  mulog2sumlem3  23477  logsqvma  23483  log2sumbnd  23485  selberglem1  23486  selberglem2  23487  selberglem3  23488  selberg  23489  selberg2lem  23491  selberg2  23492  pntrsumo1  23506  selbergr  23509  pntrlog2bndlem4  23521  pntibndlem3  23533  xrge0iifiso  27581  relogbcl  27686  log2le1  27691  relgamcl  28272  reglogcl  30458  reglogltb  30459  reglogleb  30460  reglogmul  30461  reglogexp  30462  reglogbas  30463  reglog1  30464  stirlinglem12  31413  stirlinglem13  31414  stirlinglem14  31415
  Copyright terms: Public domain W3C validator