Theorem relmptopab 6544

Description: Any function to sets of ordered pairs produces a relation on function value unconditionally. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relmptopab.1	|- F = ( x e. A |-> { <. y , z >. | ph } )

Assertion

Ref	Expression
relmptopab	|- Rel ( F ` B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( y, z)   B( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem relmptopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relmptopab.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> { <. y , z >. | ph } )
2	1	fvmptss 5981	. . 3 |- ( A. x e. A { <. y , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) -> ( F ` B ) C_ ( _V X. _V ) )
3		relopab 4979	. . . . 5 |- Rel { <. y , z >. | ph }
4		df-rel 4860	. . . . 5 |- ( Rel { <. y , z >. | ph } <-> { <. y , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) )
5	3, 4	mpbi 213	. . . 4 |- { <. y , z >. | ph } C_ ( _V X. _V )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( x e. A -> { <. y , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) )
7	2, 6	mprg 2763	. 2 |- ( F ` B ) C_ ( _V X. _V )
8		df-rel 4860	. 2 |- ( Rel ( F ` B ) <-> ( F ` B ) C_ ( _V X. _V ) )
9	7, 8	mpbir 214	1 |- Rel ( F ` B )

Syntax hints:   = wceq 1455   e. wcel 1898   _Vcvv 3057   C_ wss 3416   {copab 4474   |-> cmpt 4475   X. cxp 4851   Rel wrel 4858   ` cfv 5601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609

This theorem is referenced by:  reldvdsr  17921  lmrel  20295  phtpcrel  22073  ulmrel  23382  ercgrg  24611