MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relmpt2opab Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem relmpt2opab 6904
Description: Any function to sets of ordered pairs produces a relation on function value unconditionally. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
relmpt2opab.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  { <. z ,  w >.  |  ph } )
Assertion
Ref Expression
relmpt2opab  |-  Rel  ( C F D )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    y, B    x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    A( z, w)    B( x, z, w)    C( x, y, z, w)    D( x, y, z, w)    F( x, y, z, w)

Proof of Theorem relmpt2opab
StepHypRef Expression
1 relopab 4978 . . . . 5  |-  Rel  { <. z ,  w >.  | 
ph }
2 df-rel 4859 . . . . 5  |-  ( Rel 
{ <. z ,  w >.  |  ph }  <->  { <. z ,  w >.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V ) )
31, 2mpbi 213 . . . 4  |-  { <. z ,  w >.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V )
43rgen2w 2761 . . 3  |-  A. x  e.  A  A. y  e.  B  { <. z ,  w >.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V )
5 relmpt2opab.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  { <. z ,  w >.  |  ph } )
65ovmptss 6903 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  { <. z ,  w >.  | 
ph }  C_  ( _V  X.  _V )  -> 
( C F D )  C_  ( _V  X.  _V ) )
74, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( C F D )  C_  ( _V  X.  _V )
8 df-rel 4859 . 2  |-  ( Rel  ( C F D )  <->  ( C F D )  C_  ( _V  X.  _V ) )
97, 8mpbir 214 1  |-  Rel  ( C F D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1454   A.wral 2748   _Vcvv 3056    C_ wss 3415   {copab 4473    X. cxp 4850   Rel wrel 4857  (class class class)co 6314    |-> cmpt2 6316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-1st 6819  df-2nd 6820
This theorem is referenced by:  brovmpt2ex  6995  relfunc  15815  releqg  16912  relwlk  25294  releupa  25740
  Copyright terms: Public domain W3C validator