MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relmpt2opab Structured version   Unicode version

Theorem relmpt2opab 6781
Description: Any function to sets of ordered pairs produces a relation on function value unconditionally. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
relmpt2opab.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  { <. z ,  w >.  |  ph } )
Assertion
Ref Expression
relmpt2opab  |-  Rel  ( C F D )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    y, B    x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    A( z, w)    B( x, z, w)    C( x, y, z, w)    D( x, y, z, w)    F( x, y, z, w)

Proof of Theorem relmpt2opab
StepHypRef Expression
1 relopab 5041 . . . . 5  |-  Rel  { <. z ,  w >.  | 
ph }
2 df-rel 4920 . . . . 5  |-  ( Rel 
{ <. z ,  w >.  |  ph }  <->  { <. z ,  w >.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V ) )
31, 2mpbi 208 . . . 4  |-  { <. z ,  w >.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V )
43rgen2w 2744 . . 3  |-  A. x  e.  A  A. y  e.  B  { <. z ,  w >.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V )
5 relmpt2opab.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  { <. z ,  w >.  |  ph } )
65ovmptss 6780 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  { <. z ,  w >.  | 
ph }  C_  ( _V  X.  _V )  -> 
( C F D )  C_  ( _V  X.  _V ) )
74, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( C F D )  C_  ( _V  X.  _V )
8 df-rel 4920 . 2  |-  ( Rel  ( C F D )  <->  ( C F D )  C_  ( _V  X.  _V ) )
97, 8mpbir 209 1  |-  Rel  ( C F D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399   A.wral 2732   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   {copab 4424    X. cxp 4911   Rel wrel 4918  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700
This theorem is referenced by:  brovmpt2ex  6869  relfunc  15268  releqg  16365  relwlk  24639  releupa  25085
  Copyright terms: Public domain W3C validator