Theorem rellyscon 29969

Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rellyscon	|- ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon

Proof of Theorem rellyscon

Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 21768	. 2 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
2		tg2 19966	. . . 4 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> E. z e. ran (,) ( y e. z /\ z C_ x ) )
3		retopbas 21767	. . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
4		bastg 19967	. . . . . . . . . 10 |- ( ran (,) e. TopBases -> ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) )
6		simprl 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ran (,) )
7	5, 6	sseldi 3462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ( topGen ` ran (,) ) )
8		simprrr 773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z C_ x )
9		selpw 3986	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P x <-> z C_ x )
10	8, 9	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ~P x )
11	7, 10	elind 3650	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) )
12		simprrl 772	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> y e. z )
13		ioof 11732	. . . . . . . . . 10 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
14		ffn 5742	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
15		ovelrn 6455	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
17		oveq2 6309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( a (,) b ) ) )
18		iooscon 29965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( a (,) b ) ) e. SCon
19	17, 18	syl6eqel 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
20	19	rexlimivw 2914	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
21	20	rexlimivw 2914	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
22	16, 21	sylbi 198	. . . . . . . 8 |- ( z e. ran (,) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
23	22	ad2antrl 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
24	11, 12, 23	jca32 537	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> ( z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) /\ ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
25	24	ex 435	. . . . 5 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> ( ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) /\ ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) ) )
26	25	reximdv2 2896	. . . 4 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. ran (,) ( y e. z /\ z C_ x ) -> E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
27	2, 26	mpd 15	. . 3 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) )
28	27	rgen2 2850	. 2 |- A. x e. ( topGen ` ran (,) ) A. y e. x E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
29		islly 20469	. 2 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon <-> ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ A. x e. ( topGen ` ran (,) ) A. y e. x E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
30	1, 28, 29	mpbir2an 928	1 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon

Syntax hints:   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   i^i cin 3435   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   X. cxp 4847   ran crn 4850   Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   RRcr 9538   RR*cxr 9674   (,)cioo 11635   ↾_t crest 15306   topGenctg 15323   Topctop 19903   TopBasesctb 19906  Locally clly 20465  SConcscon 29938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-con 20413  df-lly 20467  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-ii 21895  df-htpy 21987  df-phtpy 21988  df-phtpc 22009  df-pcon 29939  df-scon 29940

This theorem is referenced by: (None)