Theorem rellyscon 29967

Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rellyscon	|- ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon

Proof of Theorem rellyscon

Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 21775	. 2 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
2		tg2 19973	. . . 4 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> E. z e. ran (,) ( y e. z /\ z C_ x ) )
3		retopbas 21774	. . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
4		bastg 19974	. . . . . . . . . 10 |- ( ran (,) e. TopBases -> ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) )
6		simprl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ran (,) )
7	5, 6	sseldi 3429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ( topGen ` ran (,) ) )
8		simprrr 774	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z C_ x )
9		selpw 3957	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P x <-> z C_ x )
10	8, 9	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ~P x )
11	7, 10	elind 3617	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) )
12		simprrl 773	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> y e. z )
13		ioof 11729	. . . . . . . . . 10 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
14		ffn 5726	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
15		ovelrn 6442	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
17		oveq2 6296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( a (,) b ) ) )
18		iooscon 29963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( a (,) b ) ) e. SCon
19	17, 18	syl6eqel 2536	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
20	19	rexlimivw 2875	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
21	20	rexlimivw 2875	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
22	16, 21	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- ( z e. ran (,) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
23	22	ad2antrl 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
24	11, 12, 23	jca32 538	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> ( z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) /\ ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
25	24	ex 436	. . . . 5 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> ( ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) /\ ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) ) )
26	25	reximdv2 2857	. . . 4 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. ran (,) ( y e. z /\ z C_ x ) -> E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
27	2, 26	mpd 15	. . 3 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) )
28	27	rgen2 2812	. 2 |- A. x e. ( topGen ` ran (,) ) A. y e. x E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
29		islly 20476	. 2 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon <-> ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ A. x e. ( topGen ` ran (,) ) A. y e. x E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
30	1, 28, 29	mpbir2an 930	1 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   i^i cin 3402   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   X. cxp 4831   ran crn 4834   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   RR*cxr 9671   (,)cioo 11632   ↾_t crest 15312   topGenctg 15329   Topctop 19910   TopBasesctb 19913  Locally clly 20472  SConcscon 29936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-con 20420  df-lly 20474  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-ii 21902  df-htpy 21994  df-phtpy 21995  df-phtpc 22016  df-pcon 29937  df-scon 29938

This theorem is referenced by: (None)