Theorem rellyscon 28871

Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rellyscon	|- ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon

Proof of Theorem rellyscon

Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 21393	. 2 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
2		tg2 19592	. . . 4 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> E. z e. ran (,) ( y e. z /\ z C_ x ) )
3		retopbas 21392	. . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
4		bastg 19593	. . . . . . . . . 10 |- ( ran (,) e. TopBases -> ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) )
6		simprl 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ran (,) )
7	5, 6	sseldi 3497	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ( topGen ` ran (,) ) )
8		simprrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z C_ x )
9		selpw 4022	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P x <-> z C_ x )
10	8, 9	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ~P x )
11	7, 10	elind 3684	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) )
12		simprrl 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> y e. z )
13		ioof 11647	. . . . . . . . . 10 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
14		ffn 5737	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
15		ovelrn 6450	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
17		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( a (,) b ) ) )
18		iooscon 28867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( a (,) b ) ) e. SCon
19	17, 18	syl6eqel 2553	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
20	19	rexlimivw 2946	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
21	20	rexlimivw 2946	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
22	16, 21	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( z e. ran (,) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
23	22	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
24	11, 12, 23	jca32 535	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> ( z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) /\ ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
25	24	ex 434	. . . . 5 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> ( ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) /\ ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) ) )
26	25	reximdv2 2928	. . . 4 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. ran (,) ( y e. z /\ z C_ x ) -> E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
27	2, 26	mpd 15	. . 3 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) )
28	27	rgen2 2882	. 2 |- A. x e. ( topGen ` ran (,) ) A. y e. x E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
29		islly 20094	. 2 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon <-> ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ A. x e. ( topGen ` ran (,) ) A. y e. x E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
30	1, 28, 29	mpbir2an 920	1 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   X. cxp 5006   ran crn 5009   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   RR*cxr 9644   (,)cioo 11554   ↾_t crest 14837   topGenctg 14854   Topctop 19520   TopBasesctb 19524  Locally clly 20090  SConcscon 28840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-con 20038  df-lly 20092  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-ii 21506  df-htpy 21595  df-phtpy 21596  df-phtpc 21617  df-pcon 28841  df-scon 28842

This theorem is referenced by: (None)