Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rellyscon Structured version   Unicode version

Theorem rellyscon 29969
Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rellyscon  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e. Locally SCon

Proof of Theorem rellyscon
Dummy variables  a 
b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 21768 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2 tg2 19966 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
3 retopbas 21767 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
4 bastg 19967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
6 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ran  (,) )
75, 6sseldi 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
8 simprrr 773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  C_  x )
9 selpw 3986 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P x  <->  z  C_  x )
108, 9sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ~P x )
117, 10elind 3650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
) )
12 simprrl 772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  y  e.  z )
13 ioof 11732 . . . . . . . . . 10  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
14 ffn 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
15 ovelrn 6455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b ) ) )
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  z  =  ( a (,) b ) )
17 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
a (,) b ) ) )
18 iooscon 29965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
a (,) b ) )  e. SCon
1917, 18syl6eqel 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2019rexlimivw 2914 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2120rexlimivw 2914 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  z )  e. SCon
)
2216, 21sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ran  (,)  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2322ad2antrl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2411, 12, 23jca32 537 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
)  /\  ( y  e.  z  /\  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon ) )
)
2524ex 435 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  (
( z  e.  ran  (,) 
/\  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  -> 
( z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x )  /\  ( y  e.  z  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  z )  e. SCon
) ) ) )
2625reximdv2 2896 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  ( E. z  e.  ran  (,) ( y  e.  z  /\  z  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
) ( y  e.  z  /\  ( (
topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon ) )
)
272, 26mpd 15 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  E. z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
) ( y  e.  z  /\  ( (
topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon ) )
2827rgen2 2850 . 2  |-  A. x  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. y  e.  x  E. z  e.  (
( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  z )  e. SCon )
29 islly 20469 . 2  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e. Locally SCon  <->  ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A. x  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. y  e.  x  E. z  e.  (
( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  z )  e. SCon )
) )
301, 28, 29mpbir2an 928 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e. Locally SCon
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979    X. cxp 4847   ran crn 4850    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   RRcr 9538   RR*cxr 9674   (,)cioo 11635   ↾t crest 15306   topGenctg 15323   Topctop 19903   TopBasesctb 19906  Locally clly 20465  SConcscon 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-con 20413  df-lly 20467  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-ii 21895  df-htpy 21987  df-phtpy 21988  df-phtpc 22009  df-pcon 29939  df-scon 29940
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator