Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rellyscon Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rellyscon 30046
Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rellyscon  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e. Locally SCon

Proof of Theorem rellyscon
Dummy variables  a 
b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 21860 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2 tg2 20057 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
3 retopbas 21859 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
4 bastg 20058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
6 simprl 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ran  (,) )
75, 6sseldi 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
8 simprrr 783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  C_  x )
9 selpw 3949 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P x  <->  z  C_  x )
108, 9sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ~P x )
117, 10elind 3609 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
) )
12 simprrl 782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  y  e.  z )
13 ioof 11757 . . . . . . . . . 10  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
14 ffn 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
15 ovelrn 6464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b ) ) )
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  z  =  ( a (,) b ) )
17 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
a (,) b ) ) )
18 iooscon 30042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
a (,) b ) )  e. SCon
1917, 18syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2019rexlimivw 2869 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2120rexlimivw 2869 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  z )  e. SCon
)
2216, 21sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ran  (,)  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2322ad2antrl 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2411, 12, 23jca32 544 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
)  /\  ( y  e.  z  /\  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon ) )
)
2524ex 441 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  (
( z  e.  ran  (,) 
/\  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  -> 
( z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x )  /\  ( y  e.  z  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  z )  e. SCon
) ) ) )
2625reximdv2 2855 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  ( E. z  e.  ran  (,) ( y  e.  z  /\  z  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
) ( y  e.  z  /\  ( (
topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon ) )
)
272, 26mpd 15 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  E. z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
) ( y  e.  z  /\  ( (
topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon ) )
2827rgen2 2818 . 2  |-  A. x  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. y  e.  x  E. z  e.  (
( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  z )  e. SCon )
29 islly 20560 . 2  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e. Locally SCon  <->  ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A. x  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. y  e.  x  E. z  e.  (
( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  z )  e. SCon )
) )
301, 28, 29mpbir2an 934 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e. Locally SCon
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942    X. cxp 4837   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   RR*cxr 9692   (,)cioo 11660   ↾t crest 15397   topGenctg 15414   Topctop 19994   TopBasesctb 19997  Locally clly 20556  SConcscon 30015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-con 20504  df-lly 20558  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-ii 21987  df-htpy 22079  df-phtpy 22080  df-phtpc 22101  df-pcon 30016  df-scon 30017
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator