Theorem rellyscon 28333

Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rellyscon	|- ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon

Proof of Theorem rellyscon

Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 21000	. 2 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
2		tg2 19230	. . . 4 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> E. z e. ran (,) ( y e. z /\ z C_ x ) )
3		retopbas 20999	. . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
4		bastg 19231	. . . . . . . . . 10 |- ( ran (,) e. TopBases -> ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) )
6		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ran (,) )
7	5, 6	sseldi 3502	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ( topGen ` ran (,) ) )
8		simprrr 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z C_ x )
9		selpw 4017	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P x <-> z C_ x )
10	8, 9	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ~P x )
11	7, 10	elind 3688	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) )
12		simprrl 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> y e. z )
13		ioof 11618	. . . . . . . . . 10 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
14		ffn 5729	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
15		ovelrn 6433	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
17		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( a (,) b ) ) )
18		iooscon 28329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( a (,) b ) ) e. SCon
19	17, 18	syl6eqel 2563	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
20	19	rexlimivw 2952	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
21	20	rexlimivw 2952	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
22	16, 21	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( z e. ran (,) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
23	22	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
24	11, 12, 23	jca32 535	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> ( z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) /\ ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
25	24	ex 434	. . . . 5 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> ( ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) /\ ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) ) )
26	25	reximdv2 2934	. . . 4 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. ran (,) ( y e. z /\ z C_ x ) -> E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
27	2, 26	mpd 15	. . 3 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) )
28	27	rgen2 2889	. 2 |- A. x e. ( topGen ` ran (,) ) A. y e. x E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
29		islly 19732	. 2 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon <-> ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ A. x e. ( topGen ` ran (,) ) A. y e. x E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
30	1, 28, 29	mpbir2an 918	1 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   X. cxp 4997   ran crn 5000   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   RR*cxr 9623   (,)cioo 11525   ↾_t crest 14669   topGenctg 14686   Topctop 19158   TopBasesctb 19162  Locally clly 19728  SConcscon 28302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-con 19676  df-lly 19730  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-ii 21113  df-htpy 21202  df-phtpy 21203  df-phtpc 21224  df-pcon 28303  df-scon 28304

This theorem is referenced by: (None)