Theorem rellyscon 27285

Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rellyscon	|- ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon

Proof of Theorem rellyscon

Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 20473	. 2 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
2		tg2 18703	. . . 4 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> E. z e. ran (,) ( y e. z /\ z C_ x ) )
3		retopbas 20472	. . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
4		bastg 18704	. . . . . . . . . 10 |- ( ran (,) e. TopBases -> ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) )
6		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ran (,) )
7	5, 6	sseldi 3463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ( topGen ` ran (,) ) )
8		simprrr 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z C_ x )
9		selpw 3976	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P x <-> z C_ x )
10	8, 9	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ~P x )
11	7, 10	elind 3649	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) )
12		simprrl 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> y e. z )
13		ioof 11505	. . . . . . . . . 10 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
14		ffn 5668	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
15		ovelrn 6350	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
17		oveq2 6209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( a (,) b ) ) )
18		iooscon 27281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( a (,) b ) ) e. SCon
19	17, 18	syl6eqel 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
20	19	rexlimivw 2943	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
21	20	rexlimivw 2943	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
22	16, 21	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( z e. ran (,) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
23	22	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
24	11, 12, 23	jca32 535	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) -> ( z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) /\ ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
25	24	ex 434	. . . . 5 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> ( ( z e. ran (,) /\ ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) /\ ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) ) )
26	25	reximdv2 2931	. . . 4 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. ran (,) ( y e. z /\ z C_ x ) -> E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
27	2, 26	mpd 15	. . 3 |- ( ( x e. ( topGen ` ran (,) ) /\ y e. x ) -> E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) )
28	27	rgen2 2918	. 2 |- A. x e. ( topGen ` ran (,) ) A. y e. x E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon )
29		islly 19205	. 2 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon <-> ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ A. x e. ( topGen ` ran (,) ) A. y e. x E. z e. ( ( topGen ` ran (,) ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t z ) e. SCon ) ) )
30	1, 28, 29	mpbir2an 911	1 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Locally SCon

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   i^i cin 3436   C_ wss 3437   ~Pcpw 3969   X. cxp 4947   ran crn 4950   Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   RR*cxr 9529   (,)cioo 11412   ↾_t crest 14479   topGenctg 14496   Topctop 18631   TopBasesctb 18635  Locally clly 19201  SConcscon 27254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-con 19149  df-lly 19203  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-ii 20586  df-htpy 20675  df-phtpy 20676  df-phtpc 20697  df-pcon 27255  df-scon 27256

This theorem is referenced by: (None)