Theorem reliun 4959

Description: An indexed union is a relation iff each member of its indexed family is a relation. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reliun	|- ( Rel U_ x e. A B <-> A. x e. A Rel B )

Proof of Theorem reliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 4271	. . 3 |- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2	1	releqi 4923	. 2 |- ( Rel U_ x e. A B <-> Rel { y | E. x e. A y e. B } )
3		df-rel 4846	. 2 |- ( Rel { y | E. x e. A y e. B } <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) )
4		abss 3484	. . 3 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
5		df-rel 4846	. . . . . 6 |- ( Rel B <-> B C_ ( _V X. _V ) )
6		dfss2 3407	. . . . . 6 |- ( B C_ ( _V X. _V ) <-> A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
7	5, 6	bitri 257	. . . . 5 |- ( Rel B <-> A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
8	7	ralbii 2823	. . . 4 |- ( A. x e. A Rel B <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
9		ralcom4 3052	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
10		r19.23v 2863	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
11	10	albii 1699	. . . 4 |- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
12	8, 9, 11	3bitri 279	. . 3 |- ( A. x e. A Rel B <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
13	4, 12	bitr4i 260	. 2 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) <-> A. x e. A Rel B )
14	2, 3, 13	3bitri 279	1 |- ( Rel U_ x e. A B <-> A. x e. A Rel B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   A.wal 1450   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   U_ciun 4269   X. cxp 4837   Rel wrel 4844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ral 2761  df-rex 2762  df-v 3033  df-in 3397  df-ss 3404  df-iun 4271  df-rel 4846

This theorem is referenced by:  reluni  4961  eliunxp  4977  opeliunxp2  4978  dfco2  5341  coiun  5352  fvn0ssdmfun  6028  opeliunxp2f  6975  fsumcom2  13912  fprodcom2  14115  imasaddfnlem  15512  imasvscafn  15521  gsum2d2lem  17683  gsum2d2  17684  gsumcom2  17685  dprd2d2  17755  cnextrel  21156  reldv  22904  dfcnv2  28354  cvmliftlem1  30080  cnviun  36313  coiun1  36315  eliunxp2  40623