Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relgamcl Structured version   Unicode version

Theorem relgamcl 28420
Description: The log-Gamma function is real for positive real input. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
relgamcl  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log _G `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem relgamcl
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpdmgm 28383 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
2 lgamcl 28399 . . . 4  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  ->  ( log _G `  A )  e.  CC )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log _G `  A )  e.  CC )
4 relogcl 22829 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
54recnd 9634 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
63, 5pncand 9943 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( log _G `  A )  +  ( log `  A ) )  -  ( log `  A ) )  =  ( log _G `  A ) )
7 nnuz 11129 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8 1z 10906 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
98a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  ZZ )
10 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( A  /  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  m
)  +  1 ) ) ) )
1110, 1lgamcvg 28412 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  m
)  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( log _G `  A )  +  ( log `  A ) ) )
12 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  A  e.  RR+ )
1312rpred 11268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
14 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
1514peano2nnd 10565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
1615nnrpd 11267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  RR+ )
1714nnrpd 11267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
1816, 17rpdivcld 11285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
1918relogcld 22874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  RR )
2013, 19remulcld 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  e.  RR )
2112, 17rpdivcld 11285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  /  m )  e.  RR+ )
22 1rp 11236 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  1  e.  RR+ )
2421, 23rpaddcld 11283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  (
( A  /  m
)  +  1 )  e.  RR+ )
2524relogcld 22874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( A  /  m )  +  1 ) )  e.  RR )
2620, 25resubcld 9999 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  m
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
2726, 10fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( A  /  m )  +  1 ) ) ) ) : NN --> RR )
2827ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  NN )  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( A  /  m )  +  1 ) ) ) ) `
 n )  e.  RR )
297, 9, 28serfre 12116 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  m
)  +  1 ) ) ) ) ) : NN --> RR )
3029ffvelrnda 6032 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( A  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n )  e.  RR )
317, 9, 11, 30climrecl 13386 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log _G `  A
)  +  ( log `  A ) )  e.  RR )
3231, 4resubcld 9999 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( log _G `  A )  +  ( log `  A ) )  -  ( log `  A ) )  e.  RR )
336, 32eqeltrrd 2556 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log _G `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    \ cdif 3478    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817    / cdiv 10218   NNcn 10548   ZZcz 10876   RR+crp 11232    seqcseq 12087   logclog 22808   log _Gclgam 28374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-tan 13686  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-ulm 22639  df-log 22810  df-cxp 22811  df-lgam 28377
This theorem is referenced by:  rpgamcl  28421
  Copyright terms: Public domain W3C validator