MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relfunc Structured version   Unicode version

Theorem relfunc 15088
Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
relfunc  |-  Rel  ( D  Func  E )

Proof of Theorem relfunc
Dummy variables  f 
b  g  m  n  t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 15084 . 2  |-  Func  =  ( t  e.  Cat ,  u  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  [. ( Base `  t
)  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  u
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  u
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
( Hom  `  t ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  t ) `  x ) )  =  ( ( Id `  u ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x ( Hom  `  t ) y ) A. n  e.  ( y ( Hom  `  t
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  t )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  u )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) } )
21relmpt2opab 6865 1  |-  Rel  ( D  Func  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   [.wsbc 3331   <.cop 4033    X. cxp 4997   Rel wrel 5004   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783    ^m cmap 7420   X_cixp 7469   Basecbs 14489   Hom chom 14565  compcco 14566   Catccat 14918   Idccid 14919    Func cfunc 15080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-func 15084
This theorem is referenced by:  cofuval  15108  cofu1  15110  cofu2  15112  cofuval2  15113  cofucl  15114  cofuass  15115  cofulid  15116  cofurid  15117  funcres  15122  funcres2  15124  wunfunc  15125  funcpropd  15126  relfull  15134  relfth  15135  isfull  15136  isfth  15140  idffth  15159  cofull  15160  cofth  15161  ressffth  15164  isnat  15173  isnat2  15174  nat1st2nd  15177  fuccocl  15190  fucidcl  15191  fuclid  15192  fucrid  15193  fucass  15194  fucsect  15198  fucinv  15199  invfuc  15200  fuciso  15201  natpropd  15202  fucpropd  15203  catciso  15291  prfval  15325  prfcl  15329  prf1st  15330  prf2nd  15331  1st2ndprf  15332  evlfcllem  15347  evlfcl  15348  curf1cl  15354  curf2cl  15357  curfcl  15358  uncf1  15362  uncf2  15363  curfuncf  15364  uncfcurf  15365  diag1cl  15368  diag2cl  15372  curf2ndf  15373  yon1cl  15389  oyon1cl  15397  yonedalem1  15398  yonedalem21  15399  yonedalem3a  15400  yonedalem4c  15403  yonedalem22  15404  yonedalem3b  15405  yonedalem3  15406  yonedainv  15407  yonffthlem  15408  yoniso  15411
  Copyright terms: Public domain W3C validator