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Theorem relexpsucr 27245
Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpsucr.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpsucr.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpsucr  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  R
) ) )

Proof of Theorem relexpsucr
Dummy variables  r  n  x  y  z 
b  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relexpsucr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2 uniexg 6376 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  U. R  e.  _V )
3 uniexg 6376 . . 3  |-  ( U. R  e.  _V  ->  U.
U. R  e.  _V )
4 resiexg 6513 . . 3  |-  ( U. U. R  e.  _V  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
51, 2, 3, 44syl 21 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
6 eqidd 2442 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) )  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) )
7 simprr 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  n  =  ( N  + 
1 ) )
8 eqidd 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  0  =  0 )
9 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  _V  =  _V )
10 coeq2 4994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
x  o.  r )  =  ( x  o.  R ) )
119, 9, 10mpt2eq123dv 6147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) )
12 unieq 4096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
1312unieqd 4098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
1413reseq2d 5106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (  _I  |`  U. U. r
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
1514mpteq2dv 4376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
168, 11, 15seqeq123d 11811 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) )  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
1716fveq1d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
1817ad2antrl 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
19 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  ( N  +  1 )  <->  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) )
2019anbi2d 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) )  <->  ( r  =  R  /\  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
2120anbi2d 698 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
22 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
2322eqeq1d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
)  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  <->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
2421, 23imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )  <->  ( (
( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) ) )
2518, 24mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
267, 25mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
271ad2antll 723 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  ->  R  e.  _V )
28 simpl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  ->  N  e.  NN0 )
29 1nn0 10591 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
1  e.  NN0 )
31 nn0addcl 10611 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
3228, 30, 31syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
33 fvex 5698 . . . . . . 7  |-  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  e.  _V )
356, 26, 27, 32, 34ovmpt2d 6217 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
36 simprl 750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  r  =  R )
37 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
3837ad2antll 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
39 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
r  =  R  <->  R  =  R ) )
4039anbi1d 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  N )  <->  ( R  =  R  /\  n  =  N ) ) )
4140anbi2d 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  N )
)  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) ) ) )
4216fveq1d 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n ) )
4342eqeq1d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
)  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  <->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) )
4441, 43imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )  <->  ( (
( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) ) )
4538, 44mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  N )
)  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) )
4636, 45mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
47 fvex 5698 . . . . . . . 8  |-  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  e. 
_V
4847a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  e.  _V )
496, 46, 27, 28, 48ovmpt2d 6217 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
) )
50 simprl 750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
51 nn0uz 10891 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5250, 51syl6eleq 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
53 seqp1 11817 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
) ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
55 eqidd 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  b  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
5655cbvmptv 4380 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( b  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( b  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
58 eqidd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  /\  b  =  ( N  +  1 ) )  ->  (  _I  |`  U. U. R )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
5950, 29jctir 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )
)
60 elex 2979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
_V )
6159, 31, 603syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  _V )
62 simpl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
6362ad2antll 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
6457, 58, 61, 63fvmptd 5776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
65 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ s
( x  o.  R
)
66 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( x  o.  R
)
67 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( s  o.  R
)
68 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( s  o.  R
)
69 coeq1 4993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  s  ->  (
x  o.  R )  =  ( s  o.  R ) )
7069adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  t )  ->  ( x  o.  R
)  =  ( s  o.  R ) )
7165, 66, 67, 68, 70cbvmpt2 6164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) )  =  ( s  e. 
_V ,  t  e. 
_V  |->  ( s  o.  R ) )
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) )  =  ( s  e.  _V , 
t  e.  _V  |->  ( s  o.  R ) ) )
73 coeq1 4993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  -> 
( s  o.  R
)  =  ( (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  o.  R ) )
7473ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( s  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  t  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )  ->  ( s  o.  R )  =  ( (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N )  o.  R
) )
75 simprl 750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
76 coexg 6527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N )  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R )  e.  _V )
7748, 27, 76syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R )  e.  _V )
7872, 74, 48, 75, 77ovmpt2d 6217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R ) )
79 coeq1 4993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  =  ( (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  o.  R ) )
8079eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( (
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
) ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R
) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  <->  ( (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R ) ) )
8178, 80syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8281imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
83 oveq2 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
) ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R
) ) )
8483eqeq1d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
) ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  <->  ( (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8582, 84syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8664, 85mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
8754, 86eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
8849, 87mpancom 664 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
8935, 88eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
90 df-relexp 27243 . . . . 5  |-  ^r  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )
91 oveq 6096 . . . . . . 7  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^r ( N  + 
1 ) )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) ) )
92 oveq 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^r N )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N ) )
9392coeq1d 4997 . . . . . . 7  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  R )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
9491, 93eqeq12d 2455 . . . . . 6  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  R )  <->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) N )  o.  R ) ) )
9594imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  R
) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) ) )
9690, 95ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  R
) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
9789, 96mpbir 209 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  R
) )
9897expcom 435 . 2  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  R ) ) )
995, 98mpancom 664 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  R
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   U.cuni 4088    e. cmpt 4347    _I cid 4627    |` cres 4838    o. ccom 4840   Rel wrel 4841   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857    seqcseq 11802   ^rcrelexp 27242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-seq 11803  df-relexp 27243
This theorem is referenced by:  relexp1  27246  relexpsucl  27247  relexpcnv  27248  relexprn  27251  relexpadd  27253  rtrclreclem.min  27262
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