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Theorem relexpsucnnr 13088
Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by RP, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpsucnnr  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ^r 
( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  R
) )

Proof of Theorem relexpsucnnr
Dummy variables  a 
b  z  n  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) )  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) )
2 simprr 766 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  n  =  ( N  +  1 ) )
3 dmeq 5035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  dom  R )
4 rneq 5060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  ran  r  =  ran  R )
53, 4uneq12d 3589 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  ( dom  r  u.  ran  r )  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
65reseq2d 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
7 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  1  =  1 )
8 coeq2 4993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
x  o.  r )  =  ( x  o.  R ) )
98mpt2eq3dv 6357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) )
10 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  r  =  R )
1110mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
z  e.  _V  |->  r )  =  ( z  e.  _V  |->  R ) )
127, 9, 11seqeq123d 12222 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) )  =  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) )
1312fveq1d 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
146, 13ifeq12d 3901 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
1514ad2antrl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  (
r  =  R  /\  ( N  +  1
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  if (
( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
17 eqeq1 2455 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  ( N  +  1 )  <->  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) )
1817anbi2d 710 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) )  <->  ( r  =  R  /\  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
1918anbi2d 710 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  (
r  =  R  /\  ( N  +  1
)  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
20 eqeq1 2455 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  0  <->  ( N  +  1 )  =  0 ) )
21 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n )  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
2220, 21ifbieq2d 3906 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
2322eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  <->  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u. 
ran  r ) ) ,  (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
2416, 19, 233imtr4d 272 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  if (
n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
252, 24mpcom 37 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
26 elex 3054 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
2726adantr 467 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R  e.  _V )
28 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
2928peano2nnd 10626 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
3029nnnn0d 10925 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
31 dmexg 6724 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
32 rnexg 6725 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  ran  R  e.  _V )
33 unexg 6592 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  R  e.  _V  /\ 
ran  R  e.  _V )  ->  ( dom  R  u.  ran  R )  e. 
_V )
3431, 32, 33syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  ( dom  R  u.  ran  R
)  e.  _V )
35 resiexg 6729 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  R  u.  ran  R )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  e.  _V )
3634, 35syl 17 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  e.  _V )
3736adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  e.  _V )
38 fvex 5875 . . . . . 6  |-  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  e. 
_V
3938a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) )  e.  _V )
4037, 39ifcld 3924 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V )
411, 25, 27, 30, 40ovmpt2d 6424 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) ( N  + 
1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
42 nnne0 10642 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
4342neneqd 2629 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  -.  ( N  +  1
)  =  0 )
4429, 43syl 17 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  -.  ( N  + 
1 )  =  0 )
4544iffalsed 3892 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
46 elnnuz 11195 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4746biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4847adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
49 seqp1 12228 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e. 
_V  |->  R ) `  ( N  +  1
) ) ) )
5048, 49syl 17 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ( ( z  e.  _V  |->  R ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
51 ovex 6318 . . . . . 6  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
52 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R  e.  V )
53 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( N  + 
1 )  ->  R  =  R )
54 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  |->  R )  =  ( z  e. 
_V  |->  R )
5553, 54fvmptg 5946 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  _V  /\  R  e.  V )  ->  ( ( z  e. 
_V  |->  R ) `  ( N  +  1
) )  =  R )
5651, 52, 55sylancr 669 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( z  e. 
_V  |->  R ) `  ( N  +  1
) )  =  R )
5756oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e. 
_V  |->  R ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) R ) )
58 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ a
( x  o.  R
)
59 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ b
( x  o.  R
)
60 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( a  o.  R
)
61 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( a  o.  R
)
62 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  x  =  a )
6362coeq1d 4996 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  o.  R
)  =  ( a  o.  R ) )
6458, 59, 60, 61, 63cbvmpt2 6370 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) )  =  ( a  e. 
_V ,  b  e. 
_V  |->  ( a  o.  R ) )
65 oveq 6296 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) )  =  ( a  e.  _V ,  b  e.  _V  |->  ( a  o.  R ) )  ->  ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) R )  =  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( a  e.  _V ,  b  e.  _V  |->  ( a  o.  R ) ) R ) )
6664, 65mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) R )  =  ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
) ( a  e. 
_V ,  b  e. 
_V  |->  ( a  o.  R ) ) R ) )
67 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( a  e.  _V ,  b  e.  _V  |->  ( a  o.  R
) )  =  ( a  e.  _V , 
b  e.  _V  |->  ( a  o.  R ) ) )
68 simprl 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( a  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  /\  b  =  R ) )  -> 
a  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 N ) )
6968coeq1d 4996 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( a  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  /\  b  =  R ) )  -> 
( a  o.  R
)  =  ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N )  o.  R ) )
70 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 N )  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  e.  _V )
72 coexg 6744 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  e.  _V  /\  R  e.  V )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N )  o.  R
)  e.  _V )
7370, 52, 72sylancr 669 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N )  o.  R
)  e.  _V )
7467, 69, 71, 27, 73ovmpt2d 6424 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( a  e.  _V ,  b  e.  _V  |->  ( a  o.  R ) ) R )  =  ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  o.  R ) )
75 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  n  =  N )
7675eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  ( n  =  0  <-> 
N  =  0 ) )
776adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
7812adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) )  =  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) )
7978, 75fveq12d 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
)  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 N ) )
8076, 77, 79ifbieq12d 3908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u. 
ran  r ) ) ,  (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n ) )  =  if ( N  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
) ) )
8180adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  if ( N  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ) )
8228nnnn0d 10925 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
8337, 71ifcld 3924 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  if ( N  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
) )  e.  _V )
841, 81, 27, 82, 83ovmpt2d 6424 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) N )  =  if ( N  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
) ) )
85 nnne0 10642 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8685adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
8786neneqd 2629 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  -.  N  =  0 )
8887iffalsed 3892 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  if ( N  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
) )  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) )
8984, 88eqtr2d 2486 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N ) )
9089coeq1d 4996 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N )  o.  R
)  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) N )  o.  R ) )
9166, 74, 903eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) R )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) N )  o.  R ) )
9250, 57, 913eqtrd 2489 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) N )  o.  R ) )
9341, 45, 923eqtrd 2489 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) ( N  + 
1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N )  o.  R ) )
94 df-relexp 13084 . . 3  |- ^r 
=  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )
95 oveq 6296 . . . . 5  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )  ->  ( R ^r  ( N  +  1 ) )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) ( N  +  1 ) ) )
96 oveq 6296 . . . . . 6  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N ) )
9796coeq1d 4996 . . . . 5  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  R )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N )  o.  R ) )
9895, 97eqeq12d 2466 . . . 4  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )  ->  ( ( R ^r  ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  R )  <->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) N )  o.  R ) ) )
9998imbi2d 318 . . 3  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )  ->  ( (
( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ^r  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  R
) )  <->  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) ( N  + 
1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N )  o.  R ) ) ) )
10094, 99ax-mp 5 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ^r  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  R
) )  <->  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) ( N  + 
1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N )  o.  R ) ) )
10193, 100mpbir 213 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ^r 
( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045    u. cun 3402   ifcif 3881    |-> cmpt 4461    _I cid 4744   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836    o. ccom 4838   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZ>=cuz 11159    seqcseq 12213   ^r crelexp 13083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12214  df-relexp 13084
This theorem is referenced by:  relexpsucr  13092  relexpsucnnl  13095  relexpcnv  13098  relexprelg  13101  relexpnndm  13104  relexp2  36269  relexpxpnnidm  36295  relexpss1d  36297  relexpmulnn  36301  trclrelexplem  36303  relexp0a  36308  trclfvcom  36315  cotrcltrcl  36317  trclfvdecomr  36320  cotrclrcl  36334
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