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Theorem relexpsucnnr 12945
Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by RP, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpsucnnr  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ^r 
( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  R
) )

Proof of Theorem relexpsucnnr
Dummy variables  a 
b  z  n  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) )  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) )
2 simprr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  n  =  ( N  +  1 ) )
3 dmeq 5192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  dom  R )
4 rneq 5217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  ran  r  =  ran  R )
53, 4uneq12d 3645 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  ( dom  r  u.  ran  r )  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
65reseq2d 5262 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
7 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  1  =  1 )
8 coeq2 5150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
x  o.  r )  =  ( x  o.  R ) )
98mpt2eq3dv 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) )
10 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  r  =  R )
1110mpteq2dv 4526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
z  e.  _V  |->  r )  =  ( z  e.  _V  |->  R ) )
127, 9, 11seqeq123d 12101 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) )  =  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) )
1312fveq1d 5850 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
146, 13ifeq12d 3949 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
1514ad2antrl 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  (
r  =  R  /\  ( N  +  1
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  if (
( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
17 eqeq1 2458 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  ( N  +  1 )  <->  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) )
1817anbi2d 701 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) )  <->  ( r  =  R  /\  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
1918anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  (
r  =  R  /\  ( N  +  1
)  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
20 eqeq1 2458 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  0  <->  ( N  +  1 )  =  0 ) )
21 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n )  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
2220, 21ifbieq2d 3954 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
2322eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  <->  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u. 
ran  r ) ) ,  (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
2416, 19, 233imtr4d 268 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  if (
n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
252, 24mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
26 elex 3115 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
2726adantr 463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R  e.  _V )
28 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
2928peano2nnd 10548 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
3029nnnn0d 10848 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
31 dmexg 6704 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
32 rnexg 6705 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  ran  R  e.  _V )
33 unexg 6574 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  R  e.  _V  /\ 
ran  R  e.  _V )  ->  ( dom  R  u.  ran  R )  e. 
_V )
3431, 32, 33syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  ( dom  R  u.  ran  R
)  e.  _V )
35 resiexg 6709 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  R  u.  ran  R )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  e.  _V )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  e.  _V )
3736adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  e.  _V )
38 fvex 5858 . . . . . 6  |-  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  e. 
_V
3938a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) )  e.  _V )
4037, 39ifcld 3972 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V )
411, 25, 27, 30, 40ovmpt2d 6403 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) ( N  + 
1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
42 nnne0 10564 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
4342neneqd 2656 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  -.  ( N  +  1
)  =  0 )
4429, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  -.  ( N  + 
1 )  =  0 )
4544iffalsed 3940 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
46 elnnuz 11118 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4746biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4847adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
49 seqp1 12107 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e. 
_V  |->  R ) `  ( N  +  1
) ) ) )
5048, 49syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ( ( z  e.  _V  |->  R ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
51 ovex 6298 . . . . . 6  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
52 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R  e.  V )
53 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( N  + 
1 )  ->  R  =  R )
54 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  |->  R )  =  ( z  e. 
_V  |->  R )
5553, 54fvmptg 5929 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  _V  /\  R  e.  V )  ->  ( ( z  e. 
_V  |->  R ) `  ( N  +  1
) )  =  R )
5651, 52, 55sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( z  e. 
_V  |->  R ) `  ( N  +  1
) )  =  R )
5756oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e. 
_V  |->  R ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) R ) )
58 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ a
( x  o.  R
)
59 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ b
( x  o.  R
)
60 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( a  o.  R
)
61 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( a  o.  R
)
62 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  x  =  a )
6362coeq1d 5153 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  o.  R
)  =  ( a  o.  R ) )
6458, 59, 60, 61, 63cbvmpt2 6349 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) )  =  ( a  e. 
_V ,  b  e. 
_V  |->  ( a  o.  R ) )
65 oveq 6276 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) )  =  ( a  e.  _V ,  b  e.  _V  |->  ( a  o.  R ) )  ->  ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) R )  =  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( a  e.  _V ,  b  e.  _V  |->  ( a  o.  R ) ) R ) )
6664, 65mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) R )  =  ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
) ( a  e. 
_V ,  b  e. 
_V  |->  ( a  o.  R ) ) R ) )
67 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( a  e.  _V ,  b  e.  _V  |->  ( a  o.  R
) )  =  ( a  e.  _V , 
b  e.  _V  |->  ( a  o.  R ) ) )
68 simprl 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( a  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  /\  b  =  R ) )  -> 
a  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 N ) )
6968coeq1d 5153 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( a  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  /\  b  =  R ) )  -> 
( a  o.  R
)  =  ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N )  o.  R ) )
70 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 N )  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  e.  _V )
72 coexg 6724 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  e.  _V  /\  R  e.  V )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N )  o.  R
)  e.  _V )
7370, 52, 72sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N )  o.  R
)  e.  _V )
7467, 69, 71, 27, 73ovmpt2d 6403 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( a  e.  _V ,  b  e.  _V  |->  ( a  o.  R ) ) R )  =  ( (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  o.  R ) )
75 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  n  =  N )
7675eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  ( n  =  0  <-> 
N  =  0 ) )
776adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
7812adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) )  =  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) )
7978, 75fveq12d 5854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
)  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 N ) )
8076, 77, 79ifbieq12d 3956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  N )  ->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u. 
ran  r ) ) ,  (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n ) )  =  if ( N  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
) ) )
8180adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  if ( N  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ) )
8228nnnn0d 10848 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
8337, 71ifcld 3972 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  if ( N  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
) )  e.  _V )
841, 81, 27, 82, 83ovmpt2d 6403 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) N )  =  if ( N  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
) ) )
85 nnne0 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8685adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
8786neneqd 2656 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  -.  N  =  0 )
8887iffalsed 3940 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  if ( N  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
) )  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) )
8984, 88eqtr2d 2496 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N
)  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N ) )
9089coeq1d 5153 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N )  o.  R
)  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) N )  o.  R ) )
9166, 74, 903eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) R )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) N )  o.  R ) )
9250, 57, 913eqtrd 2499 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) N )  o.  R ) )
9341, 45, 923eqtrd 2499 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) ( N  + 
1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N )  o.  R ) )
94 df-relexp 12941 . . 3  |- ^r 
=  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )
95 oveq 6276 . . . . 5  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )  ->  ( R ^r  ( N  +  1 ) )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) ( N  +  1 ) ) )
96 oveq 6276 . . . . . 6  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N ) )
9796coeq1d 5153 . . . . 5  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  R )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N )  o.  R ) )
9895, 97eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )  ->  ( ( R ^r  ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  R )  <->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) N )  o.  R ) ) )
9998imbi2d 314 . . 3  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )  ->  ( (
( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ^r  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  R
) )  <->  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) ( N  + 
1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N )  o.  R ) ) ) )
10094, 99ax-mp 5 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ^r  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  R
) )  <->  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) ( N  + 
1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) ) ) N )  o.  R ) ) )
10193, 100mpbir 209 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( R ^r 
( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    u. cun 3459   ifcif 3929    |-> cmpt 4497    _I cid 4779   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990    o. ccom 4992   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11082    seqcseq 12092   ^r crelexp 12940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-seq 12093  df-relexp 12941
This theorem is referenced by:  relexpsucr  12947  relexpsucnnl  12950  relexpcnv  12953  relexprelg  12956  relexpnndm  12959  relexp2  38219  relexpss1d  38238  relexp0a  38244  relexpxpnnidm  38246  relexpmulnn  38248  trclrelexplem  38250  cotrclrcl  38253  cotrcltrcl  38254
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