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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > relexpsucnnr | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by RP, 22-May-2020.) |
Ref | Expression |
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relexpsucnnr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqidd 2452 |
. . . 4
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2 | simprr 766 |
. . . . 5
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3 | dmeq 5035 |
. . . . . . . . . . 11
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4 | rneq 5060 |
. . . . . . . . . . 11
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5 | 3, 4 | uneq12d 3589 |
. . . . . . . . . 10
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6 | 5 | reseq2d 5105 |
. . . . . . . . 9
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7 | eqidd 2452 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | coeq2 4993 |
. . . . . . . . . . . 12
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9 | 8 | mpt2eq3dv 6357 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
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11 | 10 | mpteq2dv 4490 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 7, 9, 11 | seqeq123d 12222 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 12 | fveq1d 5867 |
. . . . . . . . 9
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14 | 6, 13 | ifeq12d 3901 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | ad2antrl 734 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | a1i 11 |
. . . . . 6
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17 | eqeq1 2455 |
. . . . . . . 8
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18 | 17 | anbi2d 710 |
. . . . . . 7
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19 | 18 | anbi2d 710 |
. . . . . 6
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20 | eqeq1 2455 |
. . . . . . . 8
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21 | fveq2 5865 |
. . . . . . . 8
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22 | 20, 21 | ifbieq2d 3906 |
. . . . . . 7
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23 | 22 | eqeq1d 2453 |
. . . . . 6
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24 | 16, 19, 23 | 3imtr4d 272 |
. . . . 5
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25 | 2, 24 | mpcom 37 |
. . . 4
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26 | elex 3054 |
. . . . 5
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27 | 26 | adantr 467 |
. . . 4
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28 | simpr 463 |
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29 | 28 | peano2nnd 10626 |
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30 | 29 | nnnn0d 10925 |
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31 | dmexg 6724 |
. . . . . . . 8
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32 | rnexg 6725 |
. . . . . . . 8
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33 | unexg 6592 |
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34 | 31, 32, 33 | syl2anc 667 |
. . . . . . 7
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35 | resiexg 6729 |
. . . . . . 7
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36 | 34, 35 | syl 17 |
. . . . . 6
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37 | 36 | adantr 467 |
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38 | fvex 5875 |
. . . . . 6
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39 | 38 | a1i 11 |
. . . . 5
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40 | 37, 39 | ifcld 3924 |
. . . 4
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41 | 1, 25, 27, 30, 40 | ovmpt2d 6424 |
. . 3
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42 | nnne0 10642 |
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45 | 44 | iffalsed 3892 |
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46 | elnnuz 11195 |
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47 | 46 | biimpi 198 |
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49 | seqp1 12228 |
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51 | ovex 6318 |
. . . . . 6
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52 | simpl 459 |
. . . . . 6
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53 | eqidd 2452 |
. . . . . . 7
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54 | eqid 2451 |
. . . . . . 7
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55 | 53, 54 | fvmptg 5946 |
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56 | 51, 52, 55 | sylancr 669 |
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57 | 56 | oveq2d 6306 |
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58 | nfcv 2592 |
. . . . . . 7
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59 | nfcv 2592 |
. . . . . . 7
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60 | nfcv 2592 |
. . . . . . 7
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61 | nfcv 2592 |
. . . . . . 7
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62 | simpl 459 |
. . . . . . . 8
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63 | 62 | coeq1d 4996 |
. . . . . . 7
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64 | 58, 59, 60, 61, 63 | cbvmpt2 6370 |
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65 | oveq 6296 |
. . . . . 6
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. . . . 5
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67 | eqidd 2452 |
. . . . . 6
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68 | simprl 764 |
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69 | 68 | coeq1d 4996 |
. . . . . 6
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70 | fvex 5875 |
. . . . . . 7
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71 | 70 | a1i 11 |
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. . . . . . 7
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73 | 70, 52, 72 | sylancr 669 |
. . . . . 6
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74 | 67, 69, 71, 27, 73 | ovmpt2d 6424 |
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75 | simpr 463 |
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78 | 12 | adantr 467 |
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79 | 78, 75 | fveq12d 5871 |
. . . . . . . . . 10
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80 | 76, 77, 79 | ifbieq12d 3908 |
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81 | 80 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
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. . . . . . . 8
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84 | 1, 81, 27, 82, 83 | ovmpt2d 6424 |
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86 | 85 | adantl 468 |
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89 | 84, 88 | eqtr2d 2486 |
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101 | 93, 100 | mpbir 213 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-pre-mulgt0 9616 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-riota 6252 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-om 6693 df-2nd 6794 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-er 7363 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-sub 9862 df-neg 9863 df-nn 10610 df-n0 10870 df-z 10938 df-uz 11160 df-seq 12214 df-relexp 13084 |
This theorem is referenced by: relexpsucr 13092 relexpsucnnl 13095 relexpcnv 13098 relexprelg 13101 relexpnndm 13104 relexp2 36269 relexpxpnnidm 36295 relexpss1d 36297 relexpmulnn 36301 trclrelexplem 36303 relexp0a 36308 trclfvcom 36315 cotrcltrcl 36317 trclfvdecomr 36320 cotrclrcl 36334 |
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