Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexpsucnnl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem relexpsucnnl 13172
 Description: A reduction for relation exponentiation to the left. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpsucnnl

Proof of Theorem relexpsucnnl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6315 . . . . . 6
21oveq2d 6324 . . . . 5
3 oveq2 6316 . . . . . 6
43coeq2d 5002 . . . . 5
52, 4eqeq12d 2486 . . . 4
65imbi2d 323 . . 3
7 oveq1 6315 . . . . . 6
87oveq2d 6324 . . . . 5
9 oveq2 6316 . . . . . 6
109coeq2d 5002 . . . . 5
118, 10eqeq12d 2486 . . . 4
1211imbi2d 323 . . 3
13 oveq1 6315 . . . . . 6
1413oveq2d 6324 . . . . 5
15 oveq2 6316 . . . . . 6
1615coeq2d 5002 . . . . 5
1714, 16eqeq12d 2486 . . . 4
1817imbi2d 323 . . 3
19 oveq1 6315 . . . . . 6
2019oveq2d 6324 . . . . 5
21 oveq2 6316 . . . . . 6
2221coeq2d 5002 . . . . 5
2320, 22eqeq12d 2486 . . . 4
2423imbi2d 323 . . 3
25 relexp1g 13166 . . . . 5
2625coeq1d 5001 . . . 4
27 1nn 10642 . . . . 5
28 relexpsucnnr 13165 . . . . 5
2927, 28mpan2 685 . . . 4
3025coeq2d 5002 . . . 4
3126, 29, 303eqtr4d 2515 . . 3
32 coeq1 4997 . . . . . . . . 9
33 coass 5361 . . . . . . . . 9
3432, 33syl6eq 2521 . . . . . . . 8
3534adantl 473 . . . . . . 7
36 simpl 464 . . . . . . . 8
37 peano2nn 10643 . . . . . . . . 9
3837anim2i 579 . . . . . . . 8
39 relexpsucnnr 13165 . . . . . . . 8
4036, 38, 393syl 18 . . . . . . 7
41 relexpsucnnr 13165 . . . . . . . . 9
4241adantr 472 . . . . . . . 8
4342coeq2d 5002 . . . . . . 7
4435, 40, 433eqtr4d 2515 . . . . . 6
4544ex 441 . . . . 5
4645expcom 442 . . . 4
4746a2d 28 . . 3
486, 12, 18, 24, 31, 47nnind 10649 . 2
4948impcom 437 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   ccom 4843  (class class class)co 6308  c1 9558   caddc 9560  cn 10631   crelexp 13160 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-relexp 13161 This theorem is referenced by:  relexpsucl  13173  relexpcnv  13175  relexpaddnn  13191  trclfvcom  36386  trclimalb2  36389
 Copyright terms: Public domain W3C validator