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Theorem relexpsucl 28880
Description: A reduction for relation exponentiation to the left. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpsucl.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpsucl.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpsucl  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) ) )

Proof of Theorem relexpsucl
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
43oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^r ( 0  +  1 ) ) )
5 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r 0 ) )
65coeq2d 5171 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) )
74, 6eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) )  <->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0
) ) ) )
82, 7imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) ) ) )
9 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
109anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
11 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  (
i  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
1211oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^r ( n  + 
1 ) ) )
13 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r n ) )
1413coeq2d 5171 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )
1512, 14eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) )  <->  ( R ^r ( n  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) )
1610, 15imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) ) )
17 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1817anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
19 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  1 ) )
2019oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) ) )
21 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r ( n  + 
1 ) ) )
2221coeq2d 5171 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  + 
1 ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) )  <->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) )
2418, 23imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) ) )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2625anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
27 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2827oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^r ( N  + 
1 ) ) )
29 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r N ) )
3029coeq2d 5171 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) )
3128, 30eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) )  <->  ( R ^r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) ) )
3226, 31imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) ) ) )
33 relexpsucl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Rel  R )
34 relexpsucl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
3533, 34relexp0 28877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
3635adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3733, 34relexp1 28879 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R ^r 1 )  =  R )
3837adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  R )
3933adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  R )
40 relcoi1 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4238, 41eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
43 coeq2 5167 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( R  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
4443eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^r 1
)  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) )  <-> 
( R ^r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) )
4542, 44syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^r 0
) ) ) )
4636, 45mpcom 36 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) )
47 0p1e1 10659 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
48 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R ^r 1 ) )
4948eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0
) )  <->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) ) )
5049imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( ( 0  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0
) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) ) ) )
5147, 50ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) ) )
5246, 51mpbir 209 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) )
53 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
54 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
5554, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
5654, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
5755, 56relexpsucr 28878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R ) ) )
5853, 57mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R ) )
59 simprrr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
6055, 56relexpsucr 28878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R ) ) )
6159, 60mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R ) )
62 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) )  <->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) )
6362imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) ) )
6463anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  <->  ( (
( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )
6564anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  <->  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )
6665anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  <->  ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) ) )
67 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
68 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ph )
69 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) )
7067, 68, 69mp2and 679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )
7170coeq1d 5170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( ( R  o.  ( R ^r n ) )  o.  R
) )
72 coass 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  o.  ( R ^r n ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^r n )  o.  R ) )
7371, 72syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( R  o.  (
( R ^r n )  o.  R
) ) )
74 coeq1 5166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( ( ( R ^r n )  o.  R )  o.  R ) )
75 coeq2 5167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) )  =  ( R  o.  ( ( R ^r n )  o.  R ) ) )
7674, 75eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) )  <->  ( (
( R ^r n )  o.  R
)  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^r n )  o.  R ) ) ) )
7773, 76syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7866, 77sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7961, 78mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) )
8058, 79eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) )
8180anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  -> 
( R ^r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) )
8281expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) )
8382expcom 435 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  -> 
( ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
848, 16, 24, 32, 52, 83nn0ind 10969 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) ) )
8584anabsi5 815 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) )
8685expcom 435 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   U.cuni 4251    _I cid 4796    |` cres 5007    o. ccom 5009   Rel wrel 5010  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   NN0cn0 10807   ^rcrelexp 28875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-seq 12088  df-relexp 28876
This theorem is referenced by:  relexpcnv  28881  relexpdm  28883  relexpindlem  28887
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