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Theorem relexpsucl 27339
Description: A reduction for relation exponentiation to the left. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpsucl.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpsucl.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpsucl  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) ) )

Proof of Theorem relexpsucl
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
43oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^r ( 0  +  1 ) ) )
5 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r 0 ) )
65coeq2d 5007 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) )
74, 6eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) )  <->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0
) ) ) )
82, 7imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) ) ) )
9 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
109anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
11 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  (
i  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
1211oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^r ( n  + 
1 ) ) )
13 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r n ) )
1413coeq2d 5007 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )
1512, 14eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) )  <->  ( R ^r ( n  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) )
1610, 15imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) ) )
17 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1817anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
19 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  1 ) )
2019oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) ) )
21 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r ( n  + 
1 ) ) )
2221coeq2d 5007 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  + 
1 ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) )  <->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) )
2418, 23imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) ) )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2625anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
27 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2827oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^r ( N  + 
1 ) ) )
29 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r N ) )
3029coeq2d 5007 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) )
3128, 30eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) )  <->  ( R ^r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) ) )
3226, 31imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r i ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) ) ) )
33 relexpsucl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Rel  R )
34 relexpsucl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
3533, 34relexp0 27336 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
3635adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3733, 34relexp1 27338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R ^r 1 )  =  R )
3837adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  R )
3933adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  R )
40 relcoi1 5371 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4238, 41eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
43 coeq2 5003 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( R  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
4443eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^r 1
)  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) )  <-> 
( R ^r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) )
4542, 44syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^r 0
) ) ) )
4636, 45mpcom 36 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) )
47 0p1e1 10438 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
48 oveq2 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R ^r 1 ) )
4948eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0
) )  <->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) ) )
5049imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( ( 0  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0
) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) ) ) )
5147, 50ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) ) )
5246, 51mpbir 209 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 0 ) ) )
53 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
54 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
5554, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
5654, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
5755, 56relexpsucr 27337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R ) ) )
5853, 57mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R ) )
59 simprrr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
6055, 56relexpsucr 27337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R ) ) )
6159, 60mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R ) )
62 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) )  <->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) )
6362imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) ) )
6463anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  <->  ( (
( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )
6564anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  <->  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )
6665anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  <->  ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) ) )
67 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
68 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ph )
69 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) )
7067, 68, 69mp2and 679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )
7170coeq1d 5006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( ( R  o.  ( R ^r n ) )  o.  R
) )
72 coass 5361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  o.  ( R ^r n ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^r n )  o.  R ) )
7371, 72syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( R  o.  (
( R ^r n )  o.  R
) ) )
74 coeq1 5002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( ( ( R ^r n )  o.  R )  o.  R ) )
75 coeq2 5003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) )  =  ( R  o.  ( ( R ^r n )  o.  R ) ) )
7674, 75eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) )  <->  ( (
( R ^r n )  o.  R
)  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^r n )  o.  R ) ) ) )
7773, 76syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7866, 77sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7961, 78mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) )
8058, 79eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) )
8180anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  -> 
( R ^r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) )
8281expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) )
8382expcom 435 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )  -> 
( ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
848, 16, 24, 32, 52, 83nn0ind 10743 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) ) )
8584anabsi5 813 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) )
8685expcom 435 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977   U.cuni 4096    _I cid 4636    |` cres 4847    o. ccom 4849   Rel wrel 4850  (class class class)co 6096   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   NN0cn0 10584   ^rcrelexp 27334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-seq 11812  df-relexp 27335
This theorem is referenced by:  relexpcnv  27340  relexpdm  27342  relexpindlem  27346
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