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Theorem relexprn 27353
Description: The range of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexprn.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexprn.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexprn  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )

Proof of Theorem relexprn
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq2 6114 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r 0 ) )
43rneqd 5082 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ran  ( R ^r i )  =  ran  ( R ^r 0
) )
54sseq1d 3398 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  ( ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^r 0 )  C_  U.
U. R ) )
62, 5imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R
) ) )
7 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
87anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
9 oveq2 6114 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r n ) )
109rneqd 5082 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ran  ( R ^r i )  =  ran  ( R ^r n ) )
1110sseq1d 3398 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  ( ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^r n )  C_  U.
U. R ) )
128, 11imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r n ) 
C_  U. U. R ) ) )
13 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1413anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
15 oveq2 6114 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r ( n  + 
1 ) ) )
1615rneqd 5082 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ran  ( R ^r i )  =  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) ) )
1716sseq1d 3398 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^r ( n  + 
1 ) )  C_  U.
U. R ) )
1814, 17imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
19 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2019anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
21 oveq2 6114 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r N ) )
2221rneqd 5082 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ran  ( R ^r i )  =  ran  ( R ^r N ) )
2322sseq1d 3398 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  ( ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )
2420, 23imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R ) ) )
25 relexprn.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
26 relexprn.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2725, 26relexp0 27346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
2827adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
29 rnresi 5197 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
30 ssid 3390 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  C_  U. U. R
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  U. U. R  C_ 
U. U. R )
3229, 31syl5eqss 3415 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R )
33 rneq 5080 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ran  ( R ^r 0 )  =  ran  (  _I  |`  U. U. R ) )
3433sseq1d 3398 . . . . . 6  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ran  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R  <->  ran  (  _I  |`  U. U. R )  C_  U. U. R ) )
3532, 34syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r 0 )  C_  U.
U. R ) )
3628, 35mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R
)
37 simprrr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
38 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
3938, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpsucr 27347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R
) ) )
4237, 41mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R
) )
43 rncoss 5115 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
( R ^r n )  o.  R
)  C_  ran  ( R ^r n )
44 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R ) )
4537, 38, 44mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R )
4643, 45syl5ss 3382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( ( R ^r n )  o.  R )  C_  U. U. R )
47 rneq 5080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ran  ( ( R ^r n )  o.  R ) )
4847sseq1d 3398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ran  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R  <->  ran  ( ( R ^r n )  o.  R ) 
C_  U. U. R ) )
4946, 48syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r n ) 
C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R ) )
5042, 49mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5150anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5251expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R
) )
5352expcom 435 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
546, 12, 18, 24, 36, 53nn0ind 10753 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R ) )
5554anabsi5 813 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R )
5655expcom 435 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987    C_ wss 3343   U.cuni 4106    _I cid 4646   ran crn 4856    |` cres 4857    o. ccom 4859   Rel wrel 4860  (class class class)co 6106   0cc0 9297   1c1 9298    + caddc 9300   NN0cn0 10594   ^rcrelexp 27344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-seq 11822  df-relexp 27345
This theorem is referenced by:  relexpfld  27354
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