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Theorem relexprn 28534
Description: The range of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexprn.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexprn.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexprn  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )

Proof of Theorem relexprn
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r 0 ) )
43rneqd 5228 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ran  ( R ^r i )  =  ran  ( R ^r 0
) )
54sseq1d 3531 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  ( ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^r 0 )  C_  U.
U. R ) )
62, 5imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R
) ) )
7 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
87anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
9 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r n ) )
109rneqd 5228 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ran  ( R ^r i )  =  ran  ( R ^r n ) )
1110sseq1d 3531 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  ( ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^r n )  C_  U.
U. R ) )
128, 11imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r n ) 
C_  U. U. R ) ) )
13 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1413anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
15 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r ( n  + 
1 ) ) )
1615rneqd 5228 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ran  ( R ^r i )  =  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) ) )
1716sseq1d 3531 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^r ( n  + 
1 ) )  C_  U.
U. R ) )
1814, 17imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
19 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2019anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
21 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r N ) )
2221rneqd 5228 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ran  ( R ^r i )  =  ran  ( R ^r N ) )
2322sseq1d 3531 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  ( ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )
2420, 23imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R ) ) )
25 relexprn.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
26 relexprn.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2725, 26relexp0 28527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
2827adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
29 rnresi 5348 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
30 ssid 3523 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  C_  U. U. R
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  U. U. R  C_ 
U. U. R )
3229, 31syl5eqss 3548 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R )
33 rneq 5226 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ran  ( R ^r 0 )  =  ran  (  _I  |`  U. U. R ) )
3433sseq1d 3531 . . . . . 6  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ran  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R  <->  ran  (  _I  |`  U. U. R )  C_  U. U. R ) )
3532, 34syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r 0 )  C_  U.
U. R ) )
3628, 35mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R
)
37 simprrr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
38 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
3938, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpsucr 28528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R
) ) )
4237, 41mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R
) )
43 rncoss 5261 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
( R ^r n )  o.  R
)  C_  ran  ( R ^r n )
44 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R ) )
4537, 38, 44mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R )
4643, 45syl5ss 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( ( R ^r n )  o.  R )  C_  U. U. R )
47 rneq 5226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ran  ( ( R ^r n )  o.  R ) )
4847sseq1d 3531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ran  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R  <->  ran  ( ( R ^r n )  o.  R ) 
C_  U. U. R ) )
4946, 48syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r n ) 
C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R ) )
5042, 49mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5150anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5251expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R
) )
5352expcom 435 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
546, 12, 18, 24, 36, 53nn0ind 10953 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R ) )
5554anabsi5 815 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R )
5655expcom 435 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   U.cuni 4245    _I cid 4790   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   Rel wrel 5004  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491   NN0cn0 10791   ^rcrelexp 28525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-seq 12072  df-relexp 28526
This theorem is referenced by:  relexpfld  28535
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