Users' Mathboxes Mathbox for Drahflow < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexprel Structured version   Unicode version

Theorem relexprel 28520
Description: The exponentiation of a relation is a relation. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexprel.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexprel.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexprel  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  Rel  ( R ^r N ) ) )

Proof of Theorem relexprel
StepHypRef Expression
1 relexprel.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
2 relexprel.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
31, 2relexpcnv 28519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  `' ( R ^r N )  =  ( `' R ^r N ) ) )
43impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  `' ( R ^r N )  =  ( `' R ^r N ) )
54cnveqd 5171 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  `' `' ( R ^r N )  =  `' ( `' R ^r N ) )
6 relcnv 5367 . . . . . . 7  |-  Rel  `' R
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Rel  `' R )
8 cnvexg 6722 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  _V  ->  `' R  e.  _V )
92, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' R  e.  _V )
107, 9relexpcnv 28519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  `' ( `' R ^r N )  =  ( `' `' R ^r N ) ) )
1110impcom 430 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  `' ( `' R ^r N )  =  ( `' `' R ^r N ) )
121adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  R )
13 dfrel2 5450 . . . . . 6  |-  ( Rel 
R  <->  `' `' R  =  R
)
1412, 13sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  `' `' R  =  R )
1514oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( `' `' R ^r N )  =  ( R ^r N ) )
165, 11, 153eqtrrd 2508 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r N )  =  `' `' ( R ^r N ) )
17 relcnv 5367 . . . . 5  |-  Rel  `' `' ( R ^r N )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  `' `' ( R ^r N ) )
19 releq 5078 . . . 4  |-  ( ( R ^r N )  =  `' `' ( R ^r N )  ->  ( Rel  ( R ^r N )  <->  Rel  `' `' ( R ^r N ) ) )
2018, 19syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ( R ^r N )  =  `' `' ( R ^r N )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  ( R ^r N ) ) )
2116, 20mpcom 36 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  ( R ^r N ) )
2221expcom 435 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  Rel  ( R ^r N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   `'ccnv 4993   Rel wrel 4999  (class class class)co 6277   NN0cn0 10786   ^rcrelexp 28513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-seq 12066  df-relexp 28514
This theorem is referenced by:  relexpfld  28523  relexpadd  28524
  Copyright terms: Public domain W3C validator