Users' Mathboxes Mathbox for Drahflow < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexprel Unicode version

Theorem relexprel 25087
Description: The exponentiation of a relation is a relation. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexprel.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexprel.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexprel  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  Rel  ( R ^
r N ) ) )

Proof of Theorem relexprel
StepHypRef Expression
1 relexprel.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
2 relexprel.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
31, 2relexpcnv 25086 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  `' ( R ^
r N )  =  ( `' R ^
r N ) ) )
43impcom 420 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  `' ( R ^ r N )  =  ( `' R ^ r N ) )
54cnveqd 5007 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  `' `' ( R ^ r N )  =  `' ( `' R ^ r N ) )
6 relcnv 5201 . . . . . . 7  |-  Rel  `' R
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Rel  `' R )
8 cnvexg 5364 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  _V  ->  `' R  e.  _V )
92, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' R  e.  _V )
107, 9relexpcnv 25086 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  `' ( `' R ^ r N )  =  ( `' `' R ^ r N ) ) )
1110impcom 420 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  `' ( `' R ^ r N )  =  ( `' `' R ^ r N ) )
121adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  R )
13 dfrel2 5280 . . . . . 6  |-  ( Rel 
R  <->  `' `' R  =  R
)
1412, 13sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  `' `' R  =  R )
1514oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( `' `' R ^ r N )  =  ( R ^ r N ) )
165, 11, 153eqtrrd 2441 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r N )  =  `' `' ( R ^ r N ) )
17 relcnv 5201 . . . . 5  |-  Rel  `' `' ( R ^
r N )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  `' `' ( R ^ r N ) )
19 releq 4918 . . . 4  |-  ( ( R ^ r N )  =  `' `' ( R ^ r N )  ->  ( Rel  ( R ^ r N )  <->  Rel  `' `' ( R ^ r N ) ) )
2018, 19syl5ibr 213 . . 3  |-  ( ( R ^ r N )  =  `' `' ( R ^ r N )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  ( R ^ r N ) ) )
2116, 20mpcom 34 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  ( R ^ r N ) )
2221expcom 425 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  Rel  ( R ^
r N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   `'ccnv 4836   Rel wrel 4842  (class class class)co 6040   NN0cn0 10177   ^ rcrelexp 25080
This theorem is referenced by:  relexpfld  25090  relexpadd  25091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-seq 11279  df-relexp 25081
  Copyright terms: Public domain W3C validator