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Theorem relexpindlem 13105
Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpindlem.1  |-  ( et 
->  Rel  R )
relexpindlem.2  |-  ( et 
->  R  e.  _V )
relexpindlem.3  |-  ( et 
->  S  e.  _V )
relexpindlem.4  |-  ( i  =  S  ->  ( ph 
<->  ch ) )
relexpindlem.5  |-  ( i  =  x  ->  ( ph 
<->  ps ) )
relexpindlem.6  |-  ( i  =  j  ->  ( ph 
<->  th ) )
relexpindlem.7  |-  ( et 
->  ch )
relexpindlem.8  |-  ( et 
->  ( j R x  ->  ( th  ->  ps ) ) )
Assertion
Ref Expression
relexpindlem  |-  ( et 
->  ( n  e.  NN0  ->  ( S ( R ^r  n ) x  ->  ps )
) )
Distinct variable groups:    x, i    x, n    i, j, R, x    S, i, j, x    et, i, j, x    ph, j, x    ps, i, j    ch, i    th, i    et, x
Allowed substitution hints:    ph( i, n)    ps( x, n)    ch( x, j, n)    th( x, j, n)    et( n)    R( n)    S( n)

Proof of Theorem relexpindlem
Dummy variables  l 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
2 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
k  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
32anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )
4 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( R ^r  k )  =  ( R ^r  0 ) )
54breqd 4437 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( S ( R ^r  k ) x  <-> 
S ( R ^r  0 ) x ) )
65imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( S ( R ^r  k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^r  0 ) x  ->  ps ) ) )
76albidv 1760 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( A. x ( S ( R ^r  k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^r 
0 ) x  ->  ps ) ) )
83, 7imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r  k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  0  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r 
0 ) x  ->  ps ) ) ) )
9 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( k  =  l  ->  (
k  e.  NN0  <->  l  e.  NN0 ) )
109anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( k  =  l  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  l  e.  NN0 ) ) )
11 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  l  ->  ( R ^r  k )  =  ( R ^r  l ) )
1211breqd 4437 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  l  ->  ( S ( R ^r  k ) x  <-> 
S ( R ^r  l ) x ) )
1312imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( k  =  l  ->  (
( S ( R ^r  k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^r  l ) x  ->  ps ) ) )
1413albidv 1760 . . . . . 6  |-  ( k  =  l  ->  ( A. x ( S ( R ^r  k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps ) ) )
1510, 14imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( k  =  l  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r  k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps ) ) ) )
16 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
k  e.  NN0  <->  ( l  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1716anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  ( l  +  1 )  e.  NN0 )
) )
18 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( R ^r  k )  =  ( R ^r  ( l  +  1 ) ) )
1918breqd 4437 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( S ( R ^r  k ) x  <-> 
S ( R ^r  ( l  +  1 ) ) x ) )
2019imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( S ( R ^r  k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^r  ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
2120albidv 1760 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( A. x ( S ( R ^r  k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^r 
( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
2217, 21imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r  k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  ( l  +  1 )  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r 
( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) ) )
23 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
2423anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  n  e.  NN0 ) ) )
25 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( R ^r  k )  =  ( R ^r  n ) )
2625breqd 4437 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( S ( R ^r  k ) x  <-> 
S ( R ^r  n ) x ) )
2726imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( S ( R ^r  k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^r  n ) x  ->  ps ) ) )
2827albidv 1760 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( A. x ( S ( R ^r  k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^r 
n ) x  ->  ps ) ) )
2924, 28imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r  k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r 
n ) x  ->  ps ) ) ) )
30 relexpindlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( et 
->  R  e.  _V )
31 relexpindlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( et 
->  Rel  R )
3230, 31jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( et 
->  ( R  e.  _V  /\ 
Rel  R ) )
3332adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ( R  e.  _V  /\  Rel  R ) )
34 relexp0 13065 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  _V  /\  Rel  R )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
36 relexpindlem.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( et 
->  ch )
3736adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ch )
38 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  et )
39 relexpindlem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( et 
->  S  e.  _V )
4039adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ch  /\  et )  ->  S  e.  _V )
41 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  S  /\  ( et  /\  ( ph  /\  i  =  S ) ) )  ->  et )
4241, 36jccil 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  S  /\  ( et  /\  ( ph  /\  i  =  S ) ) )  -> 
( ch  /\  et ) )
4342expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  S ) )  ->  ( i  =  S  ->  ( ch 
/\  et ) ) )
4443expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  =  S )  ->  ( et  ->  ( i  =  S  ->  ( ch  /\  et ) ) ) )
4544expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  S  ->  ( ph  ->  ( et  ->  ( i  =  S  -> 
( ch  /\  et ) ) ) ) )
46453imp1 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  i  =  S )  ->  ( ch  /\  et ) )
4746expcom 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  S  ->  (
( i  =  S  /\  ph  /\  et )  ->  ( ch  /\  et ) ) )
48 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( et  /\  i  =  S )  ->  i  =  S )
4948adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  i  =  S )
50 relexpindlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  S  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5150ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5251bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
53 anbi1 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ch  <->  ph )  ->  (
( ch  /\  ( et  /\  i  =  S ) )  <->  ( ph  /\  ( et  /\  i  =  S ) ) ) )
54 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( et  /\  i  =  S
) )  ->  ph )
5553, 54syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ch  <->  ph )  ->  (
( ch  /\  ( et  /\  i  =  S ) )  ->  ph )
)
5652, 55mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  ph )
57 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  et )
5849, 56, 573jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  (
i  =  S  /\  ph 
/\  et ) )
5958anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ch  /\  et )  /\  i  =  S )  ->  ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) )
6059expcom 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  S  ->  (
( ch  /\  et )  ->  ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) ) )
6147, 60impbid 193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  S  ->  (
( i  =  S  /\  ph  /\  et )  <-> 
( ch  /\  et ) ) )
6261spcegv 3173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( ch  /\  et )  ->  E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) ) )
6340, 62mpcom 37 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ch  /\  et )  ->  E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) )
6437, 38, 63syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  E. i
( i  =  S  /\  ph  /\  et ) )
65 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  S (  _I  |`  U. U. R ) x )
66 df-br 4427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  <->  <. S ,  x >.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )
6765, 66sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  <. S ,  x >.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )
68 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
6968opelres 5130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. S ,  x >.  e.  (  _I  |`  U. U. R )  <->  ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R ) )
7067, 69sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  -> 
( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R ) )
71 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R )  /\  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )  ->  <. S ,  x >.  e.  _I  )
72 df-br 4427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  _I  x  <->  <. S ,  x >.  e.  _I  )
7371, 72sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R )  /\  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S  _I  x
)
7468ideq 5007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  _I  x  <->  S  =  x )
7573, 74sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R )  /\  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S  =  x )
7670, 75mpancom 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  S  =  x )
77 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  x  ->  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  <->  x (  _I  |`  U. U. R
) x ) )
78 eqeq2 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  =  x  ->  (
i  =  S  <->  i  =  x ) )
79783anbi1d 1339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  =  x  ->  (
( i  =  S  /\  ph  /\  et )  <-> 
( i  =  x  /\  ph  /\  et ) ) )
8079exbidv 1761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  x  ->  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  <->  E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et ) ) )
8180anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  x  ->  (
( E. i ( i  =  S  /\  ph 
/\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) )  <->  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )
8277, 81anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  =  x  ->  (
( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  <->  ( x
(  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) ) )
83 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  x ) )  ->  ph )
84 relexpindlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  x  ->  ( ph 
<->  ps ) )
8584ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  x ) )  ->  ( ph  <->  ps ) )
8683, 85mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  x ) )  ->  ps )
8786expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  =  x )  ->  ( et  ->  ps ) )
8887expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  x  ->  ( ph  ->  ( et  ->  ps ) ) )
89883imp 1199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  x  /\  ph 
/\  et )  ->  ps )
9089exlimiv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  ->  ps )
9190ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  ps )
9282, 91syl6bi 231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  =  x  ->  (
( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  ps ) )
9376, 92mpcom 37 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  ps )
9493expcom 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) )  ->  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  ->  ps ) )
9564, 94mpancom 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  ->  ps ) )
96 breq 4428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( S ( R ^r  0 ) x  <->  S (  _I  |`  U. U. R
) x ) )
9796imbi1d 318 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( S ( R ^r 
0 ) x  ->  ps )  <->  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  ->  ps ) ) )
9895, 97syl5ibr 224 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( et 
/\  0  e.  NN0 )  ->  ( S ( R ^r  0 ) x  ->  ps ) ) )
9935, 98mpcom 37 . . . . . 6  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ( S ( R ^r  0 ) x  ->  ps ) )
10099alrimiv 1766 . . . . 5  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^r  0 ) x  ->  ps )
)
101 breq2 4430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  x  ->  ( S ( R ^r  l ) i  <-> 
S ( R ^r  l ) x ) )
102101, 84imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  x  ->  (
( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )  <->  ( S
( R ^r 
l ) x  ->  ps ) ) )
103102cbvalv 2079 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )  <->  A. x ( S ( R ^r  l ) x  ->  ps ) )
104103bicomi 205 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( S ( R ^r  l ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )
105 imbi2 325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r  l ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) ) ) )
106105anbi1d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 )  <->  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^r  l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )
107106anbi2d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  <->  ( (
l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )
108107anbi2d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  <-> 
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) ) )
10930adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
11031adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
111 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
l  e.  NN0 )
112 relexpsucl 13075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  _V  /\  Rel  R  /\  l  e. 
NN0 )  ->  ( R ^r  ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) )
113109, 110, 111, 112syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^r 
( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r  l ) ) )
114 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x )
11539ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
116 brcog 5021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  <->  E. j ( S ( R ^r 
l ) j  /\  j R x ) ) )
117115, 68, 116sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( S
( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  <->  E. j
( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) )
118114, 117mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  E. j
( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) )
119 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  et )
120 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) )  ->  l  e.  NN0 )
121120ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  l  e.  NN0 )
122119, 121jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  ( et  /\  l  e.  NN0 ) )
123 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) )  ->  ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) ) )
124123ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^r  l ) i  ->  ph ) ) )
125122, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  A. i
( S ( R ^r  l ) i  ->  ph ) )
126 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  et )
127 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r 
l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  j R x )
128127ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r 
l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  -> 
j R x )
129128ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  -> 
j R x )
130 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  =  j  ->  ( S ( R ^r  l ) i  <-> 
S ( R ^r  l ) j ) )
131 relexpindlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  =  j  ->  ( ph 
<->  th ) )
132130, 131imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  j  ->  (
( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )  <->  ( S
( R ^r 
l ) j  ->  th ) ) )
133132cbvalv 2079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^r  l ) j  ->  th )
)
134 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  ->  ( A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^r  l ) j  ->  th )
) )
135 imbi2 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  ->  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  <->  ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) ) ) )
136135anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  ->  (
( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) )  <->  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j
( S ( R ^r  l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r 
l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )
137136anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  ->  (
( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) )  <-> 
( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )
138137anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  ->  (
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  <->  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )
139138anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  ->  (
( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^r  l ) i  ->  ph ) )  /\  ( l  e. 
NN0  /\  ( S
( R ^r 
l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  <-> 
( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j
( S ( R ^r  l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r 
l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) ) )
140134, 139anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  ->  (
( A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  <->  ( A. j ( S ( R ^r  l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j
( S ( R ^r  l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r 
l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) ) ) )
141 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^r  l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r 
l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  S ( R ^r  l ) j )
142141ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^r  l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r 
l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  ->  S ( R ^r  l ) j )
143142ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  S ( R ^r  l ) j )
144 sp 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. j ( S ( R ^r  l ) j  ->  th )  ->  ( S ( R ^r  l ) j  ->  th )
)
145144adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  -> 
( S ( R ^r  l ) j  ->  th )
)
146143, 145mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  th )
147140, 146syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^r 
l ) j  ->  th ) )  ->  (
( A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  th ) )
148133, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  th )
149 relexpindlem.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( et 
->  ( j R x  ->  ( th  ->  ps ) ) )
150126, 129, 148, 149syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  ps )
151125, 150mpancom 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  ps )
152151expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r 
l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  -> 
( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  ->  ps )
)
153152expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) ) )  ->  ( et  ->  ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  ->  ps ) ) )
154153expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^r 
l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  ( (
l  +  1 )  e.  NN0  ->  ( et 
->  ( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  ->  ps )
) ) )
155154anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 )  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) )  ->  (
( l  +  1 )  e.  NN0  ->  ( et  ->  ( S
( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  ->  ps ) ) ) )
156155impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( ( et  /\  l  e. 
NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^r  l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 )  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  ( et  ->  ( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  ->  ps )
) )
157156anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) )  ->  ( et  ->  ( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  ->  ps ) ) )
158157impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( et  /\  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) )  -> 
( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  ->  ps )
)
159158anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) )  ->  ( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  ->  ps ) )
160159impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^r  l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  ps )
161160anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^r  l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  /\  ( S ( R ^r  l ) j  /\  j R x ) )  ->  ps )
162118, 161exlimddv 1773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^r 
l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ps )
163162expcom 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  ->  ps )
)
164 breq 4428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R ^r  ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r  l ) )  ->  ( S ( R ^r  ( l  +  1 ) ) x  <->  S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x ) )
165164imbi1d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^r  ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r  l ) )  ->  ( ( S ( R ^r 
( l  +  1 ) ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R  o.  ( R ^r  l ) ) x  ->  ps ) ) )
166163, 165syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^r  ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r  l ) )  ->  ( ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^r  l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( S ( R ^r  ( l  +  1 ) ) x  ->  ps )
) )
167113, 166mpcom 37 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( S ( R ^r  ( l  +  1 ) ) x  ->  ps )
)
168167alrimiv 1766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^r  l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  A. x ( S ( R ^r  ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) )
169108, 168syl6bi 231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^r 
l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  A. x ( S ( R ^r 
( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
170104, 169ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r  l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  A. x ( S ( R ^r 
( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) )
171170anassrs 652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( et  /\  (
l  +  1 )  e.  NN0 )  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r 
l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  ->  A. x ( S ( R ^r  ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) )
172171expcom 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r  l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 )  ->  (
( et  /\  (
l  +  1 )  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r  ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
173172expcom 436 . . . . 5  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^r  l ) x  ->  ps )
)  ->  ( ( et  /\  ( l  +  1 )  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^r 
( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) ) )
1748, 15, 22, 29, 100, 173nn0ind 11030 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^r  n ) x  ->  ps )
) )
1751, 174mpcom 37 . . 3  |-  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^r  n ) x  ->  ps )
)
17617519.21bi 1922 . 2  |-  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  ( S ( R ^r  n ) x  ->  ps ) )
177176ex 435 1  |-  ( et 
->  ( n  e.  NN0  ->  ( S ( R ^r  n ) x  ->  ps )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   <.cop 4008   U.cuni 4222   class class class wbr 4426    _I cid 4764    |` cres 4856    o. ccom 4858   Rel wrel 4859  (class class class)co 6305   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   NN0cn0 10869   ^r crelexp 13062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12211  df-relexp 13063
This theorem is referenced by:  relexpind  13106
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