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Theorem relexpindlem 13105
 Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpindlem.1
relexpindlem.2
relexpindlem.3
relexpindlem.4
relexpindlem.5
relexpindlem.6
relexpindlem.7
relexpindlem.8
Assertion
Ref Expression
relexpindlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem relexpindlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . 4
2 eleq1 2501 . . . . . . 7
32anbi2d 708 . . . . . 6
4 oveq2 6313 . . . . . . . . 9
54breqd 4437 . . . . . . . 8
65imbi1d 318 . . . . . . 7
76albidv 1760 . . . . . 6
83, 7imbi12d 321 . . . . 5
9 eleq1 2501 . . . . . . 7
109anbi2d 708 . . . . . 6
11 oveq2 6313 . . . . . . . . 9
1211breqd 4437 . . . . . . . 8
1312imbi1d 318 . . . . . . 7
1413albidv 1760 . . . . . 6
1510, 14imbi12d 321 . . . . 5
16 eleq1 2501 . . . . . . 7
1716anbi2d 708 . . . . . 6
18 oveq2 6313 . . . . . . . . 9
1918breqd 4437 . . . . . . . 8
2019imbi1d 318 . . . . . . 7
2120albidv 1760 . . . . . 6
2217, 21imbi12d 321 . . . . 5
23 eleq1 2501 . . . . . . 7
2423anbi2d 708 . . . . . 6
25 oveq2 6313 . . . . . . . . 9
2625breqd 4437 . . . . . . . 8
2726imbi1d 318 . . . . . . 7
2827albidv 1760 . . . . . 6
2924, 28imbi12d 321 . . . . 5
30 relexpindlem.2 . . . . . . . . . 10
31 relexpindlem.1 . . . . . . . . . 10
3230, 31jca 534 . . . . . . . . 9
3332adantr 466 . . . . . . . 8
34 relexp0 13065 . . . . . . . 8
3533, 34syl 17 . . . . . . 7
36 relexpindlem.7 . . . . . . . . . . 11
3736adantr 466 . . . . . . . . . 10
38 simpl 458 . . . . . . . . . 10
39 relexpindlem.3 . . . . . . . . . . . 12
4039adantl 467 . . . . . . . . . . 11
41 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4241, 36jccil 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4342expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . 15
46453imp1 1218 . . . . . . . . . . . . . 14
4746expcom 436 . . . . . . . . . . . . 13
48 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 relexpindlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5150ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5251bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
53 anbi1 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5553, 54syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5652, 55mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . 16
57 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5849, 56, 573jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . 14
6059expcom 436 . . . . . . . . . . . . 13
6147, 60impbid 193 . . . . . . . . . . . 12
6261spcegv 3173 . . . . . . . . . . 11
6340, 62mpcom 37 . . . . . . . . . 10
6437, 38, 63syl2anc 665 . . . . . . . . 9
65 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . 14
66 df-br 4427 . . . . . . . . . . . . . 14
6765, 66sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13
68 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . 14
6968opelres 5130 . . . . . . . . . . . . 13
7067, 69sylib 199 . . . . . . . . . . . 12
71 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . 14
72 df-br 4427 . . . . . . . . . . . . . 14
7371, 72sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13
7468ideq 5007 . . . . . . . . . . . . 13
7573, 74sylib 199 . . . . . . . . . . . 12
7670, 75mpancom 673 . . . . . . . . . . 11
77 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . 13
78 eqeq2 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79783anbi1d 1339 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079exbidv 1761 . . . . . . . . . . . . . 14
8180anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . 13
8277, 81anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12
83 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84 relexpindlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8584ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8683, 85mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8786expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . 15
89883imp 1199 . . . . . . . . . . . . . 14
9089exlimiv 1769 . . . . . . . . . . . . 13
9190ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12
9282, 91syl6bi 231 . . . . . . . . . . 11
9376, 92mpcom 37 . . . . . . . . . 10
9493expcom 436 . . . . . . . . 9
9564, 94mpancom 673 . . . . . . . 8
96 breq 4428 . . . . . . . . 9
9796imbi1d 318 . . . . . . . 8
9895, 97syl5ibr 224 . . . . . . 7
9935, 98mpcom 37 . . . . . 6
10099alrimiv 1766 . . . . 5
101 breq2 4430 . . . . . . . . . . . 12
102101, 84imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11
103102cbvalv 2079 . . . . . . . . . 10
104103bicomi 205 . . . . . . . . 9
105 imbi2 325 . . . . . . . . . . . . 13
106105anbi1d 709 . . . . . . . . . . . 12
107106anbi2d 708 . . . . . . . . . . 11
108107anbi2d 708 . . . . . . . . . 10
10930adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
11031adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
111 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . 13
112 relexpsucl 13075 . . . . . . . . . . . . 13
113109, 110, 111, 112syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12
114 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11539ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116 brcog 5021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117115, 68, 116sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118114, 117mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15
119 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
120 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
121120ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
122119, 121jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
123 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
124123ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
125122, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
126 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
127 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
128127ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
129128ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
130 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
131 relexpindlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
132130, 131imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
133132cbvalv 2079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
134 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
135 imbi2 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
136135anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
137136anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
138137anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
139138anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
140134, 139anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
141 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
142141ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
143142ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
144 sp 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
145144adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
146143, 145mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
147140, 146syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
148133, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
149 relexpindlem.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
150126, 129, 148, 149syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
151125, 150mpancom 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
152151expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
153152expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
154153expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
155154anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
156155impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
157156anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158157impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
159158anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160159impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16
161160anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . 15
162118, 161exlimddv 1773 . . . . . . . . . . . . . 14
163162expcom 436 . . . . . . . . . . . . 13
164 breq 4428 . . . . . . . . . . . . . 14
165164imbi1d 318 . . . . . . . . . . . . 13
166163, 165syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . 12
167113, 166mpcom 37 . . . . . . . . . . 11
168167alrimiv 1766 . . . . . . . . . 10
169108, 168syl6bi 231 . . . . . . . . 9
170104, 169ax-mp 5 . . . . . . . 8
171170anassrs 652 . . . . . . 7
172171expcom 436 . . . . . 6
173172expcom 436 . . . . 5
1748, 15, 22, 29, 100, 173nn0ind 11030 . . . 4
1751, 174mpcom 37 . . 3
17617519.21bi 1922 . 2
177176ex 435 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982  wal 1435   wceq 1437  wex 1659   wcel 1870  cvv 3087  cop 4008  cuni 4222   class class class wbr 4426   cid 4764   cres 4856   ccom 4858   wrel 4859  (class class class)co 6305  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541  cn0 10869   crelexp 13062 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12211  df-relexp 13063 This theorem is referenced by:  relexpind  13106
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