Users' Mathboxes Mathbox for Drahflow < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpfld Structured version   Unicode version

Theorem relexpfld 29274
Description: The field of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpfld  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R )

Proof of Theorem relexpfld
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  N  = 
1 )
21oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  1 ) )
3 relexp1g 29253 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
43ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
52, 4eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  ( R ^r  N )  =  R )
65unieqd 4261 . . . . 5  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  U. ( R ^r  N )  =  U. R )
76unieqd 4261 . . . 4  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  U. U. ( R ^r  N )  =  U. U. R
)
8 eqimss 3551 . . . 4  |-  ( U. U. ( R ^r  N )  =  U. U. R  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R )
109ex 434 . 2  |-  ( N  =  1  ->  (
( N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R ) )
11 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  NN0 )
12 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V
)
13 simp1 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  -.  N  = 
1 )
1413pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  =  1  ->  Rel  R ) )
1511, 12, 143jca 1176 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  ( N  =  1  ->  Rel  R ) ) )
16 relexprelg 29263 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( N  =  1  ->  Rel  R ) )  ->  Rel  ( R ^r  N ) )
17 relfld 5539 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( R ^r  N )  ->  U. U. ( R ^r  N )  =  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) ) )
1815, 16, 173syl 20 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N )  =  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) ) )
19 elnn0 10818 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
20 relexpnndm 29266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  C_  dom  R )
21 relexpnnrn 29270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  ran  ( R ^r  N )  C_  ran  R )
22 unss12 3672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  ( R ^r  N )  C_  dom  R  /\  ran  ( R ^r  N ) 
C_  ran  R )  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
2320, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
2423ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( R  e.  V  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
25 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  =  0 )
2625oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  0 ) )
27 relexp0g 29249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
2926, 28eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
3029dmeqd 5215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  =  dom  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
31 dmresi 5339 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( dom  R  u.  ran  R )
3230, 31syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
33 eqimss 3551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( R ^r  N )  =  ( dom  R  u.  ran  R )  ->  dom  ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
3529rneqd 5240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ran  ( R ^r  N )  =  ran  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
36 rnresi 5360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( dom  R  u.  ran  R )
3735, 36syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ran  ( R ^r  N )  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
38 eqimss 3551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( R ^r  N )  =  ( dom  R  u.  ran  R )  ->  ran  ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ran  ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
4034, 39unssd 3676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
4140ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
4224, 41jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( R  e.  V  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
4319, 42sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( R  e.  V  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
4411, 12, 43sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
4518, 44eqsstrd 3533 . . . 4  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
46 dmrnssfld 5271 . . . 4  |-  ( dom 
R  u.  ran  R
)  C_  U. U. R
4745, 46syl6ss 3511 . . 3  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R )
48473expib 1199 . 2  |-  ( -.  N  =  1  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N )  C_  U. U. R ) )
4910, 48pm2.61i 164 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    u. cun 3469    C_ wss 3471   U.cuni 4251    _I cid 4799   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   Rel wrel 5013  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ^r crelexp 29247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-seq 12111  df-relexp 29248
This theorem is referenced by:  relexpfldd  29275
  Copyright terms: Public domain W3C validator