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Theorem relexpfld 13112
Description: The field of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpfld  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R )

Proof of Theorem relexpfld
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  N  = 
1 )
21oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  1 ) )
3 relexp1g 13089 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
43ad2antll 735 . . . . . . 7  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
52, 4eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  ( R ^r  N )  =  R )
65unieqd 4208 . . . . 5  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  U. ( R ^r  N )  =  U. R )
76unieqd 4208 . . . 4  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  U. U. ( R ^r  N )  =  U. U. R
)
8 eqimss 3484 . . . 4  |-  ( U. U. ( R ^r  N )  =  U. U. R  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V ) )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R )
109ex 436 . 2  |-  ( N  =  1  ->  (
( N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R ) )
11 simp2 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  NN0 )
12 simp3 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V
)
13 simp1 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  -.  N  = 
1 )
1413pm2.21d 110 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  =  1  ->  Rel  R ) )
1511, 12, 143jca 1188 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  ( N  =  1  ->  Rel  R ) ) )
16 relexprelg 13101 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( N  =  1  ->  Rel  R ) )  ->  Rel  ( R ^r  N ) )
17 relfld 5361 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( R ^r  N )  ->  U. U. ( R ^r  N )  =  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) ) )
1815, 16, 173syl 18 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N )  =  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) ) )
19 elnn0 10871 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
20 relexpnndm 13104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  C_  dom  R )
21 relexpnnrn 13108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  ran  ( R ^r  N )  C_  ran  R )
22 unss12 3606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  ( R ^r  N )  C_  dom  R  /\  ran  ( R ^r  N ) 
C_  ran  R )  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
2320, 21, 22syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
2423ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( R  e.  V  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
25 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  =  0 )
2625oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  0 ) )
27 relexp0g 13085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
2827adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
2926, 28eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
3029dmeqd 5037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  =  dom  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
31 dmresi 5160 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( dom  R  u.  ran  R )
3230, 31syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
33 eqimss 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( R ^r  N )  =  ( dom  R  u.  ran  R )  ->  dom  ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
3529rneqd 5062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ran  ( R ^r  N )  =  ran  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
36 rnresi 5181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( dom  R  u.  ran  R )
3735, 36syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ran  ( R ^r  N )  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
38 eqimss 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( R ^r  N )  =  ( dom  R  u.  ran  R )  ->  ran  ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ran  ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
4034, 39unssd 3610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
4140ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
4224, 41jaoi 381 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( R  e.  V  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
4319, 42sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( R  e.  V  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
4411, 12, 43sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  ( dom  ( R ^r  N )  u.  ran  ( R ^r  N ) )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
4518, 44eqsstrd 3466 . . . 4  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
46 dmrnssfld 5093 . . . 4  |-  ( dom 
R  u.  ran  R
)  C_  U. U. R
4745, 46syl6ss 3444 . . 3  |-  ( ( -.  N  =  1  /\  N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R )
48473expib 1211 . 2  |-  ( -.  N  =  1  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N )  C_  U. U. R ) )
4910, 48pm2.61i 168 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  U. U. ( R ^r  N ) 
C_  U. U. R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    u. cun 3402    C_ wss 3404   U.cuni 4198    _I cid 4744   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   Rel wrel 4839  (class class class)co 6290   0cc0 9539   1c1 9540   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ^r crelexp 13083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12214  df-relexp 13084
This theorem is referenced by:  relexpfldd  13113
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