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Theorem relexpdm 27342
Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpdm.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpdm.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpdm  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )

Proof of Theorem relexpdm
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r 0 ) )
43dmeqd 5047 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  dom  ( R ^r i )  =  dom  ( R ^r 0
) )
54sseq1d 3388 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  ( dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^r 0 )  C_  U.
U. R ) )
62, 5imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R
) ) )
7 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
87anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
9 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r n ) )
109dmeqd 5047 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  dom  ( R ^r i )  =  dom  ( R ^r n ) )
1110sseq1d 3388 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  ( dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^r n )  C_  U.
U. R ) )
128, 11imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r n ) 
C_  U. U. R ) ) )
13 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1413anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
15 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r ( n  + 
1 ) ) )
1615dmeqd 5047 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  dom  ( R ^r i )  =  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) ) )
1716sseq1d 3388 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^r ( n  + 
1 ) )  C_  U.
U. R ) )
1814, 17imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
19 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2019anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
21 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r N ) )
2221dmeqd 5047 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  dom  ( R ^r i )  =  dom  ( R ^r N ) )
2322sseq1d 3388 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  ( dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )
2420, 23imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R ) ) )
25 relexpdm.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
26 relexpdm.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2725, 26relexp0 27336 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
2827adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
29 dmresi 5166 . . . . . . 7  |-  dom  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
30 ssid 3380 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  C_  U. U. R
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  U. U. R  C_ 
U. U. R )
3229, 31syl5eqss 3405 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R )
33 dmeq 5045 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  dom  ( R ^r 0 )  =  dom  (  _I  |`  U. U. R ) )
3433sseq1d 3388 . . . . . 6  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( dom  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R  <->  dom  (  _I  |`  U. U. R )  C_  U. U. R ) )
3532, 34syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r 0 )  C_  U.
U. R ) )
3628, 35mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R
)
37 simprrr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
38 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
3938, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpsucl 27339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) )
4237, 41mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )
43 dmcoss 5104 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( R  o.  ( R ^r n ) )  C_  dom  ( R ^r n )
44 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R ) )
4537, 38, 44mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R )
4643, 45syl5ss 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R  o.  ( R ^r n ) )  C_  U. U. R
)
47 dmeq 5045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  dom  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )
4847sseq1d 3388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) )  ->  ( dom  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R  <->  dom  ( R  o.  ( R ^r n ) ) 
C_  U. U. R ) )
4946, 48syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r n ) 
C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R ) )
5042, 49mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5150anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5251expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R
) )
5352expcom 435 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
546, 12, 18, 24, 36, 53nn0ind 10743 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R ) )
5554anabsi5 813 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R )
5655expcom 435 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   U.cuni 4096    _I cid 4636   dom cdm 4845    |` cres 4847    o. ccom 4849   Rel wrel 4850  (class class class)co 6096   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   NN0cn0 10584   ^rcrelexp 27334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-seq 11812  df-relexp 27335
This theorem is referenced by:  relexpfld  27344  relexpadd  27345
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