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Theorem relexpdm 28883
Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpdm.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpdm.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpdm  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )

Proof of Theorem relexpdm
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r 0 ) )
43dmeqd 5211 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  dom  ( R ^r i )  =  dom  ( R ^r 0
) )
54sseq1d 3536 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  ( dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^r 0 )  C_  U.
U. R ) )
62, 5imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R
) ) )
7 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
87anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
9 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r n ) )
109dmeqd 5211 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  dom  ( R ^r i )  =  dom  ( R ^r n ) )
1110sseq1d 3536 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  ( dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^r n )  C_  U.
U. R ) )
128, 11imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r n ) 
C_  U. U. R ) ) )
13 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1413anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
15 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r ( n  + 
1 ) ) )
1615dmeqd 5211 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  dom  ( R ^r i )  =  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) ) )
1716sseq1d 3536 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^r ( n  + 
1 ) )  C_  U.
U. R ) )
1814, 17imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
19 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2019anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
21 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r N ) )
2221dmeqd 5211 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  dom  ( R ^r i )  =  dom  ( R ^r N ) )
2322sseq1d 3536 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  ( dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )
2420, 23imbi12d 320 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r i )  C_  U. U. R )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R ) ) )
25 relexpdm.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
26 relexpdm.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2725, 26relexp0 28877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
2827adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
29 dmresi 5335 . . . . . . 7  |-  dom  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
30 ssid 3528 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  C_  U. U. R
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  U. U. R  C_ 
U. U. R )
3229, 31syl5eqss 3553 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R )
33 dmeq 5209 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  dom  ( R ^r 0 )  =  dom  (  _I  |`  U. U. R ) )
3433sseq1d 3536 . . . . . 6  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( dom  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R  <->  dom  (  _I  |`  U. U. R )  C_  U. U. R ) )
3532, 34syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r 0 )  C_  U.
U. R ) )
3628, 35mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r 0
)  C_  U. U. R
)
37 simprrr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
38 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
3938, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpsucl 28880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) ) )
4237, 41mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )
43 dmcoss 5268 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( R  o.  ( R ^r n ) )  C_  dom  ( R ^r n )
44 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R ) )
4537, 38, 44mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R )
4643, 45syl5ss 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R  o.  ( R ^r n ) )  C_  U. U. R
)
47 dmeq 5209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  dom  ( R  o.  ( R ^r n ) ) )
4847sseq1d 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) )  ->  ( dom  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R  <->  dom  ( R  o.  ( R ^r n ) ) 
C_  U. U. R ) )
4946, 48syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^r n ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r n ) 
C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R ) )
5042, 49mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5150anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5251expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R
) )
5352expcom 435 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^r n )  C_  U. U. R
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
546, 12, 18, 24, 36, 53nn0ind 10969 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R ) )
5554anabsi5 815 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R )
5655expcom 435 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   U.cuni 4251    _I cid 4796   dom cdm 5005    |` cres 5007    o. ccom 5009   Rel wrel 5010  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   NN0cn0 10807   ^rcrelexp 28875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-seq 12088  df-relexp 28876
This theorem is referenced by:  relexpfld  28885  relexpadd  28886
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