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Theorem relexpaddss 36223
Description: The composition of two powers of a relation is a subset of the relation raised to the sum of those exponents. This is equality where  R is a relation as shown by relexpaddd 13056 or when the sum of the powers isn't 1 as shown by relexpaddg 13055. (Contributed by RP, 3-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpaddss  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )

Proof of Theorem relexpaddss
StepHypRef Expression
1 elnn0 10817 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
2 elnn0 10817 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
32biimpi 197 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
4 relexpaddnn 13053 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
5 eqimss 3454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
64, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
763exp 1204 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M  e.  NN  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
8 elnn1uz2 11181 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  <->  ( M  =  1  \/  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
9 relco 5290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)
10 dfrel2 5243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Rel  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  <->  `' `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  R )  =  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
) )
1110biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Rel  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  ->  `' `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  =  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  R ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  =  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  R )
13 cnvco 4977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  =  ( `' R  o.  `' (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
14 cnvresid 5609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  `' (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )
1514coeq2i 4952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' R  o.  `' (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( `' R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
16 coires1 5310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( `' R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )
1713, 15, 163eqtri 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  =  ( `' R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )
18 eqimss 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  =  ( `' R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  ->  `' (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  C_  ( `' R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  C_  ( `' R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )
20 cnvss 4964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  C_  ( `' R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  ->  `' `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  C_  `' ( `' R  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  C_  `' ( `' R  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )
22 resss 5085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  `' R
23 cnvss 4964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' R  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  `' R  ->  `' ( `' R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  `' `' R )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( `' R  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  `' `' R
2521, 24sstri 3411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
)  C_  `' `' R
2612, 25eqsstr3i 3433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  R ) 
C_  `' `' R
27 cnvcnvss 5247 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' `' R  C_  R
2826, 27sstri 3411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  R ) 
C_  R
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  R )  C_  R
)
30 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  N  =  0 )
3130oveq2d 6260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  0 ) )
32 relexp0g 13024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
33323ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
3431, 33eqtrd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
35 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  M  =  1 )
3635oveq2d 6260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  ( R ^r  1 ) )
37 relexp1g 13028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
38373ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
3936, 38eqtrd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  R )
4034, 39coeq12d 4956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  R
) )
4130, 35oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  ( 0  +  1 ) )
42 1cnd 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  1  e.  CC )
4342addid2d 9780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( 0  +  1 )  =  1 )
4441, 43eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  1 )
4544oveq2d 6260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r 
1 ) )
4645, 38eqtrd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  R )
4729, 40, 463sstr4d 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  1  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
48473exp 1204 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( M  =  1  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
49 coires1 5310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' R ^r  M )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( ( `' R ^r  M )  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )
50 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
51 cnvexg 6692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  V  ->  `' R  e.  _V )
52513ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' R  e.  _V )
53 relexpuzrel 13054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  `' R  e.  _V )  ->  Rel  ( `' R ^r  M ) )
5450, 52, 53syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( `' R ^r  M ) )
55 eluz2nn 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  NN )
57 relexpnndm 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN  /\  `' R  e.  _V )  ->  dom  ( `' R ^r  M ) 
C_  dom  `' R
)
5856, 52, 57syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( `' R ^r  M )  C_  dom  `' R )
59 df-rn 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  R  =  dom  `' R
60 ssun2 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
6159, 60eqsstr3i 3433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  `' R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
6258, 61syl6ss 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( `' R ^r  M )  C_  ( dom  R  u.  ran  R
) )
63 relssres 5099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Rel  ( `' R ^r  M )  /\  dom  ( `' R ^r  M )  C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )  ->  ( ( `' R ^r  M )  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  =  ( `' R ^r  M ) )
6454, 62, 63syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( `' R ^r  M )  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  =  ( `' R ^r  M ) )
6549, 64syl5eq 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( `' R ^r  M )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( `' R ^r  M ) )
66 cnvco 4977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( `' ( R ^r  M )  o.  `' (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )
67 eluzge2nn0 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN0 )
6850, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  NN0 )
69 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V )
70 relexpcnv 13037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  M )  =  ( `' R ^r  M ) )
7168, 69, 70syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  M )  =  ( `' R ^r  M ) )
7214a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
7371, 72coeq12d 4956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( `' ( R ^r  M )  o.  `' (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )  =  ( ( `' R ^r  M )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ) )
7466, 73syl5eq 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( ( `' R ^r  M )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
7565, 74, 713eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  M ) )
76 relco 5290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  ( R ^r  M ) )
77 relexpuzrel 13054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r  M ) )
78773adant1 1023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r  M ) )
79 cnveqb 5248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  ( R ^r  M ) )  /\  Rel  ( R ^r  M ) )  -> 
( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  M )  <->  `' (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  M ) ) )
8076, 78, 79sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  M )  <->  `' ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  M ) ) )
8175, 80mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  M ) )
82 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  N  =  0 )
8382oveq2d 6260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  0 ) )
84323ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
8583, 84eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
8685coeq1d 4953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  ( R ^r  M ) ) )
8782oveq1d 6259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  ( 0  +  M ) )
88 eluzelcn 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  CC )
8950, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  CC )
9089addid2d 9780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
0  +  M )  =  M )
9187, 90eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  M )
9291oveq2d 6260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r  M ) )
9381, 86, 923eqtr4d 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
9493, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
95943exp 1204 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
9648, 95jaod 381 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  (
( M  =  1  \/  M  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) )
978, 96syl5bi 220 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( M  e.  NN  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
987, 97jaoi 380 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( M  e.  NN  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
993, 98syl 17 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
100 elnn1uz2 11181 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
101100biimpi 197 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
102 coires1 5310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )
103 resss 5085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  R
104102, 103eqsstri 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )  C_  R
105104a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )  C_  R )
106 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  =  1 )
107106oveq2d 6260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  1 ) )
108373ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
109107, 108eqtrd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  R )
110 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  M  =  0 )
111110oveq2d 6260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  ( R ^r  0 ) )
112323ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
113111, 112eqtrd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
114109, 113coeq12d 4956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
115106, 110oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  ( 1  +  0 ) )
116 1cnd 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  1  e.  CC )
117116addid1d 9779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( 1  +  0 )  =  1 )
118115, 117eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  1 )
119118oveq2d 6260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r 
1 ) )
120119, 108eqtrd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  R )
121105, 114, 1203sstr4d 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  1  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
1221213exp 1204 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  1  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
123 coires1 5310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( ( R ^r  N )  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )
124 relexpuzrel 13054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r  N ) )
1251243adant2 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r  N ) )
126 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
127 eluz2nn 11143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  NN )
129 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V )
130 relexpnndm 13043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  C_  dom  R )
131128, 129, 130syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  C_  dom  R )
132 ssun1 3567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
133131, 132syl6ss 3414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  C_  ( dom  R  u.  ran  R
) )
134 relssres 5099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( R ^r  N )  /\  dom  ( R ^r  N )  C_  ( dom  R  u.  ran  R
) )  ->  (
( R ^r  N )  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  =  ( R ^r  N ) )
135125, 133, 134syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  =  ( R ^r  N ) )
136123, 135syl5eq 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R ^r  N ) )
137 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  M  =  0 )
138137oveq2d 6260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  ( R ^r  0 ) )
139323ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
140138, 139eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
141140coeq2d 4954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
142137oveq2d 6260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  ( N  + 
0 ) )
143 eluzelcn 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  CC )
144126, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  CC )
145144addid1d 9779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  0 )  =  N )
146142, 145eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  N )
147146oveq2d 6260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r  N ) )
148136, 141, 1473eqtr4d 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
149148, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
1501493exp 1204 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
151122, 150jaoi 380 . . . . . . 7  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( M  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) )
152101, 151syl 17 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
153 coires1 5310 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )
154 resres 5074 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  (  _I  |`  ( ( dom  R  u.  ran  R )  i^i  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
155 inidm 3609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  R  u.  ran  R )  i^i  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  =  ( dom  R  u.  ran  R )
156155reseq2i 5059 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  ( ( dom  R  u.  ran  R )  i^i  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )
157153, 154, 1563eqtri 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )
158 simp1 1005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  =  0 )
159158oveq2d 6260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  0 ) )
160323ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
161159, 160eqtrd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
162 simp2 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  M  =  0 )
163162oveq2d 6260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  ( R ^r  0 ) )
164163, 160eqtrd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
165161, 164coeq12d 4956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
166158, 162oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  ( 0  +  0 ) )
167 00id 9754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  0 )  =  0
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( 0  +  0 )  =  0 )
169166, 168eqtrd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  0 )
170169oveq2d 6260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r 
0 ) )
171170, 160eqtrd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
172157, 165, 1713eqtr4a 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
173172, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
1741733exp 1204 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
175152, 174jaoi 380 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
1763, 175syl 17 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
17799, 176jaod 381 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0 )  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) )
1781, 177syl5bi 220 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( R  e.  V  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) )
1791783imp 1199 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  C_  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3017    u. cun 3372    i^i cin 3373    C_ wss 3374    _I cid 4701   `'ccnv 4790   dom cdm 4791   ran crn 4792    |` cres 4793    o. ccom 4795   Rel wrel 4796   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   CCcc 9483   0cc0 9485   1c1 9486    + caddc 9488   NNcn 10555   2c2 10605   NN0cn0 10815   ZZ>=cuz 11105   ^r crelexp 13022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-2 10614  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-seq 12159  df-relexp 13023
This theorem is referenced by:  iunrelexpuztr  36224  cotrclrcl  36247
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