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Theorem relexpaddg 13116
Description: Relation composition becomes addition under exponentiation except when the exponents total to one and the class isn't a relation. (Contributed by RP, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpaddg  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )
) )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )

Proof of Theorem relexpaddg
StepHypRef Expression
1 elnn0 10878 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnn0 10878 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
3 relexpaddnn 13114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
43a1d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  (
( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
543exp 1204 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M  e.  NN  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
65com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
7 elnn1uz2 11242 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
8 coires1 5372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( ( R ^r  N )  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )
9 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  N  =  1 )
10 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  M  =  0 )
119, 10oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  ( 1  +  0 ) )
12 1p0e1 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  +  0 )  =  1
1311, 12syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  1 )
14 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R ) )
1513, 14mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  Rel  R )
169oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  1 ) )
17 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  R  e.  V
)
18 relexp1g 13089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
2016, 19eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  N )  =  R )
2120releqd 4938 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( Rel  ( R ^r  N )  <->  Rel  R ) )
2215, 21mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  Rel  ( R ^r  N ) )
23 1nn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN
249, 23syl6eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  N  e.  NN )
25 relexpnndm 13104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  C_  dom  R )
2624, 17, 25syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  dom  ( R ^r  N ) 
C_  dom  R )
27 ssun1 3629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
2826, 27syl6ss 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  dom  ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
29 relssres 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Rel  ( R ^r  N )  /\  dom  ( R ^r  N )  C_  ( dom  R  u.  ran  R
) )  ->  (
( R ^r  N )  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  =  ( R ^r  N ) )
3022, 28, 29syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( R ^r  N ) )
318, 30syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R ^r  N ) )
3210oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  M )  =  ( R ^r  0 ) )
33 relexp0g 13085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
3417, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
3532, 34eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  M )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
3635coeq2d 5016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
3710oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  ( N  +  0 ) )
38 ax-1cn 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
399, 38syl6eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  N  e.  CC )
4039addid1d 9840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  + 
0 )  =  N )
4137, 40eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  N )
4241oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r  N ) )
4331, 36, 423eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
4443exp43 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  1  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
45 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
46 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V )
47 relexpuzrel 13115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r  N ) )
4845, 46, 47syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r  N ) )
49 eluz2nn 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
5045, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  NN )
5150, 46, 25syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  C_  dom  R )
5251, 27syl6ss 3476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  C_  ( dom  R  u.  ran  R
) )
5348, 52, 29syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  =  ( R ^r  N ) )
548, 53syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R ^r  N ) )
55 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  M  =  0 )
5655oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  ( R ^r  0 ) )
5746, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
5856, 57eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
5958coeq2d 5016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
6055oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  ( N  + 
0 ) )
61 eluzelcn 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  CC )
6245, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  CC )
6362addid1d 9840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  0 )  =  N )
6460, 63eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  N )
6564oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r  N ) )
6654, 59, 653eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
6766a1d 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
68673exp 1204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
6944, 68jaoi 380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( M  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
707, 69sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
7170com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
726, 71jaoi 380 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0 )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
732, 72sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
7473com12 32 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
75743impd 1219 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )
)  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) )
76 elnn1uz2 11242 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  <->  ( M  =  1  \/  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
77 coires1 5372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' R  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )  =  ( `' R  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )
78 relcnv 5226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Rel  `' R
79 ssun1 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  `' R  C_  ( dom  `' R  u.  ran  `' R
)
8078, 79pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Rel  `' R  /\  dom  `' R  C_  ( dom  `' R  u.  ran  `' R
) )
81 relssres 5161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Rel  `' R  /\  dom  `' R  C_  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  -> 
( `' R  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  =  `' R )
8280, 81mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  =  `' R
)
8377, 82syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )  =  `' R )
84 cnvco 5039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( `' ( R ^r  M )  o.  `' ( R ^r  N ) )
85 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  M  =  1 )
86 1nn0 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN0
8785, 86syl6eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
88 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  R  e.  V
)
89 relexpcnv 13098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  M )  =  ( `' R ^r  M ) )
9087, 88, 89syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  M )  =  ( `' R ^r  M ) )
9185oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R ^r  M )  =  ( `' R ^r  1 ) )
92 cnvexg 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  V  ->  `' R  e.  _V )
9388, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' R  e. 
_V )
94 relexp1g 13089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' R  e.  _V  ->  ( `' R ^r 
1 )  =  `' R )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R ^r  1 )  =  `' R )
9690, 91, 953eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  M )  =  `' R )
97 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  N  =  0 )
98 0nn0 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  NN0
9997, 98syl6eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
100 relexpcnv 13098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  N )  =  ( `' R ^r  N ) )
10199, 88, 100syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  N )  =  ( `' R ^r  N ) )
10297oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R ^r  N )  =  ( `' R ^r  0 ) )
103 relexp0g 13085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' R  e.  _V  ->  ( `' R ^r 
0 )  =  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )
10493, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )
105101, 102, 1043eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  N )  =  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )
10696, 105coeq12d 5018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' ( R ^r  M )  o.  `' ( R ^r  N ) )  =  ( `' R  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R
) ) ) )
10784, 106syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( `' R  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) ) )
10899, 87nn0addcld 10936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  e.  NN0 )
109 relexpcnv 13098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  M
)  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( `' R ^r  ( N  +  M ) ) )
110108, 88, 109syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( `' R ^r  ( N  +  M ) ) )
11197, 85oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  ( 0  +  1 ) )
112 0p1e1 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  +  1 )  =  1
113111, 112syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  1 )
114113oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( `' R ^r  1 ) )
115110, 114, 953eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  `' R )
11683, 107, 1153eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
117 relco 5352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )
118 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R ) )
119113, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  Rel  R )
120113oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r 
1 ) )
12188, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
122120, 121eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  R )
123122releqd 4938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( Rel  ( R ^r  ( N  +  M ) )  <->  Rel  R ) )
124119, 123mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  Rel  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
125 cnveqb 5310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Rel  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  /\  Rel  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )  -> 
( ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) )  <->  `' (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
126117, 124, 125sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) )  <->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
127116, 126mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
128127exp43 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  0  ->  ( M  =  1  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
129128com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  =  1  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
130 coires1 5372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' R ^r  M )  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R
) ) )  =  ( ( `' R ^r  M )  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )
131 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
132 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V )
133132, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' R  e.  _V )
134 relexpuzrel 13115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  `' R  e.  _V )  ->  Rel  ( `' R ^r  M ) )
135131, 133, 134syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( `' R ^r  M ) )
136 eluz2nn 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
137131, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  NN )
138 relexpnndm 13104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN  /\  `' R  e.  _V )  ->  dom  ( `' R ^r  M ) 
C_  dom  `' R
)
139137, 133, 138syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( `' R ^r  M )  C_  dom  `' R )
140139, 79syl6ss 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( `' R ^r  M )  C_  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )
141 relssres 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Rel  ( `' R ^r  M )  /\  dom  ( `' R ^r  M )  C_  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  -> 
( ( `' R ^r  M )  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  =  ( `' R ^r  M ) )
142135, 140, 141syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( `' R ^r  M )  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  =  ( `' R ^r  M ) )
143130, 142syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( `' R ^r  M )  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R
) ) )  =  ( `' R ^r  M ) )
144 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  N  =  0 )
145144oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( `' R ^r  N )  =  ( `' R ^r 
0 ) )
146133, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( `' R ^r 
0 )  =  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )
147145, 146eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( `' R ^r  N )  =  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )
148147coeq2d 5016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( `' R ^r  M )  o.  ( `' R ^r  N ) )  =  ( ( `' R ^r  M )  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) ) )
149144oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  ( 0  +  M ) )
150 eluzelcn 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  CC )
151131, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  CC )
152151addid2d 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
0  +  M )  =  M )
153149, 152eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  M )
154153oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( `' R ^r 
( N  +  M
) )  =  ( `' R ^r  M ) )
155143, 148, 1543eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( `' R ^r  M )  o.  ( `' R ^r  N ) )  =  ( `' R ^r  ( N  +  M ) ) )
156 nnnn0 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
157131, 136, 1563syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  NN0 )
158157, 132, 89syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  M )  =  ( `' R ^r  M ) )
159144, 98syl6eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  NN0 )
160159, 132, 100syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  N )  =  ( `' R ^r  N ) )
161158, 160coeq12d 5018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( `' ( R ^r  M )  o.  `' ( R ^r  N ) )  =  ( ( `' R ^r  M )  o.  ( `' R ^r  N ) ) )
16284, 161syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( ( `' R ^r  M )  o.  ( `' R ^r  N ) ) )
163159, 157nn0addcld 10936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  e.  NN0 )
164163, 132, 109syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r 
( N  +  M
) )  =  ( `' R ^r 
( N  +  M
) ) )
165155, 162, 1643eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
166159nn0cnd 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  CC )
167151, 166addcomd 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( M  +  N )  =  ( N  +  M ) )
168 uzaddcl 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
169131, 159, 168syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
170167, 169eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
171 relexpuzrel 13115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
172170, 132, 171syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
173117, 172, 125sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) )  <->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
174165, 173mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
175174a1d 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
1761753exp 1204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  0  ->  ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
177176com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
178129, 177jaoi 380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  =  1  \/  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( N  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
17976, 178sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
180 coires1 5372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^r  0 )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( ( R ^r  0 )  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )
181 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V
)
182 relexp0rel 13100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  V  ->  Rel  ( R ^r 
0 ) )
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r  0 ) )
184181, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
185184dmeqd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  0 )  =  dom  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
186 dmresi 5179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( dom  R  u.  ran  R )
187185, 186syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  0 )  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
188 eqimss 3516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( R ^r 
0 )  =  ( dom  R  u.  ran  R )  ->  dom  ( R ^r  0 ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  0 ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
190 relssres 5161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Rel  ( R ^r  0 )  /\  dom  ( R ^r 
0 )  C_  ( dom  R  u.  ran  R
) )  ->  (
( R ^r 
0 )  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  =  ( R ^r  0 ) )
191183, 189, 190syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  0 )  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( R ^r 
0 ) )
192180, 191syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  0 )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R ^r 
0 ) )
193 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  =  0 )
194193oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  0 ) )
195 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  M  =  0 )
196195oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  ( R ^r  0 ) )
197196, 184eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
198194, 197coeq12d 5018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( ( R ^r  0 )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ) )
199193, 195oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  ( 0  +  0 ) )
200 00id 9815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  0 )  =  0
201199, 200syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  0 )
202201oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r 
0 ) )
203192, 198, 2023eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
204203a1d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) )
2052043exp 1204 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
206205com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  0  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
207179, 206jaoi 380 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0 )  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
2082, 207sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
209208com12 32 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
2102093impd 1219 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )
)  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) )
21175, 210jaoi 380 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R ) )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
2121, 211sylbi 198 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )
)  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) )
213212imp 430 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )
) )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3080    u. cun 3434    C_ wss 3436    _I cid 4763   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855    o. ccom 4857   Rel wrel 4858   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ZZ>=cuz 11166   ^r crelexp 13083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-seq 12220  df-relexp 13084
This theorem is referenced by:  relexpaddd  13117  relexpnul  36240
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