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Theorem relexpaddg 13193
Description: Relation composition becomes addition under exponentiation except when the exponents total to one and the class isn't a relation. (Contributed by RP, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpaddg  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )
) )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )

Proof of Theorem relexpaddg
StepHypRef Expression
1 elnn0 10895 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnn0 10895 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
3 relexpaddnn 13191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
43a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  (
( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
543exp 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M  e.  NN  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
65com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
7 elnn1uz2 11258 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
8 coires1 5360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( ( R ^r  N )  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )
9 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  N  =  1 )
10 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  M  =  0 )
119, 10oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  ( 1  +  0 ) )
12 1p0e1 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  +  0 )  =  1
1311, 12syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  1 )
14 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R ) )
1513, 14mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  Rel  R )
169oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  1 ) )
17 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  R  e.  V
)
18 relexp1g 13166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
2016, 19eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  N )  =  R )
2120releqd 4924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( Rel  ( R ^r  N )  <->  Rel  R ) )
2215, 21mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  Rel  ( R ^r  N ) )
23 1nn 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN
249, 23syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  N  e.  NN )
25 relexpnndm 13181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  C_  dom  R )
2624, 17, 25syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  dom  ( R ^r  N ) 
C_  dom  R )
27 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
2826, 27syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  dom  ( R ^r  N ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
29 relssres 5148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Rel  ( R ^r  N )  /\  dom  ( R ^r  N )  C_  ( dom  R  u.  ran  R
) )  ->  (
( R ^r  N )  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  =  ( R ^r  N ) )
3022, 28, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( R ^r  N ) )
318, 30syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R ^r  N ) )
3210oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  M )  =  ( R ^r  0 ) )
33 relexp0g 13162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
3417, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
3532, 34eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  M )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
3635coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
3710oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  ( N  +  0 ) )
38 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
399, 38syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  N  e.  CC )
4039addid1d 9851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  + 
0 )  =  N )
4137, 40eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  N )
4241oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r  N ) )
4331, 36, 423eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  =  1  /\  M  =  0 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
4443exp43 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  1  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
45 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
46 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V )
47 relexpuzrel 13192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r  N ) )
4845, 46, 47syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r  N ) )
49 eluz2nn 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
5045, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  NN )
5150, 46, 25syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  C_  dom  R )
5251, 27syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  N )  C_  ( dom  R  u.  ran  R
) )
5348, 52, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  =  ( R ^r  N ) )
548, 53syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R ^r  N ) )
55 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  M  =  0 )
5655oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  ( R ^r  0 ) )
5746, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
5856, 57eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
5958coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( ( R ^r  N )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
6055oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  ( N  + 
0 ) )
61 eluzelcn 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  CC )
6245, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  CC )
6362addid1d 9851 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  0 )  =  N )
6460, 63eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  N )
6564oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r  N ) )
6654, 59, 653eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
6766a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  (
( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
68673exp 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
6944, 68jaoi 386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( M  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
707, 69sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
7170com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
726, 71jaoi 386 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0 )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
732, 72sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
7473com12 31 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
75743impd 1247 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )
)  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) )
76 elnn1uz2 11258 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  <->  ( M  =  1  \/  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
77 coires1 5360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' R  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )  =  ( `' R  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )
78 relcnv 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Rel  `' R
79 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  `' R  C_  ( dom  `' R  u.  ran  `' R
)
8078, 79pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Rel  `' R  /\  dom  `' R  C_  ( dom  `' R  u.  ran  `' R
) )
81 relssres 5148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Rel  `' R  /\  dom  `' R  C_  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  -> 
( `' R  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  =  `' R )
8280, 81mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  =  `' R
)
8377, 82syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )  =  `' R )
84 cnvco 5025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( `' ( R ^r  M )  o.  `' ( R ^r  N ) )
85 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  M  =  1 )
86 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN0
8785, 86syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
88 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  R  e.  V
)
89 relexpcnv 13175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  M )  =  ( `' R ^r  M ) )
9087, 88, 89syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  M )  =  ( `' R ^r  M ) )
9185oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R ^r  M )  =  ( `' R ^r  1 ) )
92 cnvexg 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  V  ->  `' R  e.  _V )
9388, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' R  e. 
_V )
94 relexp1g 13166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' R  e.  _V  ->  ( `' R ^r 
1 )  =  `' R )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R ^r  1 )  =  `' R )
9690, 91, 953eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  M )  =  `' R )
97 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  N  =  0 )
98 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  NN0
9997, 98syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
100 relexpcnv 13175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  N )  =  ( `' R ^r  N ) )
10199, 88, 100syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  N )  =  ( `' R ^r  N ) )
10297oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R ^r  N )  =  ( `' R ^r  0 ) )
103 relexp0g 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' R  e.  _V  ->  ( `' R ^r 
0 )  =  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )
10493, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )
105101, 102, 1043eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  N )  =  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )
10696, 105coeq12d 5004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' ( R ^r  M )  o.  `' ( R ^r  N ) )  =  ( `' R  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R
) ) ) )
10784, 106syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( `' R  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) ) )
10899, 87nn0addcld 10953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  e.  NN0 )
109 relexpcnv 13175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  M
)  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( `' R ^r  ( N  +  M ) ) )
110108, 88, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( `' R ^r  ( N  +  M ) ) )
11197, 85oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  ( 0  +  1 ) )
112 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  +  1 )  =  1
113111, 112syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( N  +  M )  =  1 )
114113oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( `' R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( `' R ^r  1 ) )
115110, 114, 953eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  `' R )
11683, 107, 1153eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
117 relco 5340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )
118 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R ) )
119113, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  Rel  R )
120113oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r 
1 ) )
12188, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
122120, 121eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  R )
123122releqd 4924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( Rel  ( R ^r  ( N  +  M ) )  <->  Rel  R ) )
124119, 123mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  Rel  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
125 cnveqb 5298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Rel  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  /\  Rel  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )  -> 
( ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) )  <->  `' (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
126117, 124, 125sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) )  <->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
127116, 126mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  =  0  /\  M  =  1 )  /\  ( R  e.  V  /\  (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R ) ) )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
128127exp43 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  0  ->  ( M  =  1  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
129128com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  =  1  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
130 coires1 5360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' R ^r  M )  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R
) ) )  =  ( ( `' R ^r  M )  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )
131 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
132 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V )
133132, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' R  e.  _V )
134 relexpuzrel 13192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  `' R  e.  _V )  ->  Rel  ( `' R ^r  M ) )
135131, 133, 134syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( `' R ^r  M ) )
136 eluz2nn 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
137131, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  NN )
138 relexpnndm 13181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN  /\  `' R  e.  _V )  ->  dom  ( `' R ^r  M ) 
C_  dom  `' R
)
139137, 133, 138syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( `' R ^r  M )  C_  dom  `' R )
140139, 79syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( `' R ^r  M )  C_  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )
141 relssres 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Rel  ( `' R ^r  M )  /\  dom  ( `' R ^r  M )  C_  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  -> 
( ( `' R ^r  M )  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  =  ( `' R ^r  M ) )
142135, 140, 141syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( `' R ^r  M )  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) )  =  ( `' R ^r  M ) )
143130, 142syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( `' R ^r  M )  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R
) ) )  =  ( `' R ^r  M ) )
144 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  N  =  0 )
145144oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( `' R ^r  N )  =  ( `' R ^r 
0 ) )
146133, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( `' R ^r 
0 )  =  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )
147145, 146eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( `' R ^r  N )  =  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) )
148147coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( `' R ^r  M )  o.  ( `' R ^r  N ) )  =  ( ( `' R ^r  M )  o.  (  _I  |`  ( dom  `' R  u.  ran  `' R ) ) ) )
149144oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  ( 0  +  M ) )
150 eluzelcn 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  CC )
151131, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  CC )
152151addid2d 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
0  +  M )  =  M )
153149, 152eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  M )
154153oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( `' R ^r 
( N  +  M
) )  =  ( `' R ^r  M ) )
155143, 148, 1543eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( `' R ^r  M )  o.  ( `' R ^r  N ) )  =  ( `' R ^r  ( N  +  M ) ) )
156 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
157131, 136, 1563syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  M  e.  NN0 )
158157, 132, 89syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  M )  =  ( `' R ^r  M ) )
159144, 98syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  NN0 )
160159, 132, 100syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r  N )  =  ( `' R ^r  N ) )
161158, 160coeq12d 5004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( `' ( R ^r  M )  o.  `' ( R ^r  N ) )  =  ( ( `' R ^r  M )  o.  ( `' R ^r  N ) ) )
16284, 161syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( ( `' R ^r  M )  o.  ( `' R ^r  N ) ) )
163159, 157nn0addcld 10953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  e.  NN0 )
164163, 132, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( R ^r 
( N  +  M
) )  =  ( `' R ^r 
( N  +  M
) ) )
165155, 162, 1643eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
166159nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  CC )
167151, 166addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( M  +  N )  =  ( N  +  M ) )
168 uzaddcl 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
169131, 159, 168syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
170167, 169eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
171 relexpuzrel 13192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
172170, 132, 171syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
173117, 172, 125sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) )  <->  `' ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  `' ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
174165, 173mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
175174a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  V )  ->  (
( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
1761753exp 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  0  ->  ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
177176com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
178129, 177jaoi 386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  =  1  \/  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( N  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( (
( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
17976, 178sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
180 coires1 5360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^r  0 )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( ( R ^r  0 )  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )
181 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V
)
182 relexp0rel 13177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  V  ->  Rel  ( R ^r 
0 ) )
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  Rel  ( R ^r  0 ) )
184181, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
185184dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  0 )  =  dom  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
186 dmresi 5166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( dom  R  u.  ran  R )
187185, 186syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  0 )  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
188 eqimss 3470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( R ^r 
0 )  =  ( dom  R  u.  ran  R )  ->  dom  ( R ^r  0 ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  dom  ( R ^r  0 ) 
C_  ( dom  R  u.  ran  R ) )
190 relssres 5148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Rel  ( R ^r  0 )  /\  dom  ( R ^r 
0 )  C_  ( dom  R  u.  ran  R
) )  ->  (
( R ^r 
0 )  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  =  ( R ^r  0 ) )
191183, 189, 190syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  0 )  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( R ^r 
0 ) )
192180, 191syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  0 )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R ^r 
0 ) )
193 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  N  =  0 )
194193oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  N )  =  ( R ^r  0 ) )
195 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  M  =  0 )
196195oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  ( R ^r  0 ) )
197196, 184eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  M )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )
198194, 197coeq12d 5004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( ( R ^r  0 )  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) ) )
199193, 195oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  ( 0  +  0 ) )
200 00id 9826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  0 )  =  0
201199, 200syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( N  +  M )  =  0 )
202201oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( R ^r  ( N  +  M ) )  =  ( R ^r 
0 ) )
203192, 198, 2023eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) )
204203a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  M  =  0  /\  R  e.  V )  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) )
2052043exp 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  ( M  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
206205com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  0  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  -> 
( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) ) ) )
207179, 206jaoi 386 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0 )  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M
)  =  1  ->  Rel  R )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
2082, 207sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  =  0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
209208com12 31 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) ) ) )
2102093impd 1247 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )
)  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) )
21175, 210jaoi 386 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R ) )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) ) )
2121, 211sylbi 200 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )
)  ->  ( ( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r 
( N  +  M
) ) ) )
213212imp 436 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  ( ( N  +  M )  =  1  ->  Rel  R )
) )  ->  (
( R ^r  N )  o.  ( R ^r  M ) )  =  ( R ^r  ( N  +  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390    _I cid 4749   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843   Rel wrel 4844   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   ^r crelexp 13160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-relexp 13161
This theorem is referenced by:  relexpaddd  13194  relexpnul  36341
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