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Theorem relexpadd 27309
Description: Relation composition becomes addition under exponentiation. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpadd.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpadd.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpadd  |-  ( ph  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) ) )

Proof of Theorem relexpadd
Dummy variables  i  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  ->  M  e.  NN0 )
2 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
32anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
43anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
5 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r 0 ) )
65coeq2d 4997 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0
) ) )
7 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  ( N  +  i )  =  ( N  + 
0 ) )
87oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r ( N  +  i ) )  =  ( R ^r ( N  + 
0 ) ) )
96, 8eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  + 
0 ) ) ) )
104, 9imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  + 
0 ) ) ) ) )
11 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  (
i  e.  NN0  <->  m  e.  NN0 ) )
1211anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) )
1312anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( i  =  m  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
14 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r m ) )
1514coeq2d 4997 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) ) )
16 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  m ) )
1716oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  ( R ^r ( N  +  i ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )
1815, 17eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) ) )
1913, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) ) ) )
20 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 ) )
2120anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
2221anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
23 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )
2423coeq2d 4997 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  +  1 ) ) ) )
25 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  ( m  +  1
) ) )
2625oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^r ( N  +  i ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
2724, 26eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
2822, 27imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) ) )
29 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  (
i  e.  NN0  <->  M  e.  NN0 ) )
3029anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ph )
) )
3130anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( i  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
32 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r M ) )
3332coeq2d 4997 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) ) )
34 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  M ) )
3534oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  ( R ^r ( N  +  i ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) )
3633, 35eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( i  =  M  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) ) )
3731, 36imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( i  =  M  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) ) ) )
38 nn0cn 10581 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
3938adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) )  ->  N  e.  CC )
40 addid1 9541 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  0 )  =  N )
4140adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( N  + 
0 )  =  N )
42 simprrr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ph )
43 relexpadd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Rel  R )
44 relexpadd.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
4543, 44relexp0 27300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
4642, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
47 coeq2 4993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
48 coires1 5350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ^r N )  |`  U. U. R
)
49 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5043, 44relexpdm 27306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )
5142, 49, 50sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  dom  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R )
5242adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ph )
53 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5443, 44relexprel 27305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  Rel  ( R ^r N ) ) )
5552, 53, 54sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  Rel  ( R ^r N ) )
56 relssres 5142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Rel  ( R ^r N )  /\  dom  ( R ^r N )  C_  U. U. R )  ->  (
( R ^r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^r N ) )
5756adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( R ^r N )  /\  ( dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^r N ) )
5855, 57mpancom 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^r N ) )
5951, 58mpancom 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^r N ) )
6048, 59syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R ^r N ) )
6147, 60sylan9eq 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r N ) )
6246, 61mpancom 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r N ) )
63 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  ( R ^r ( N  +  0 ) )  =  ( R ^r N ) )
6463eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  +  0 ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r N ) ) )
6562, 64syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  (
( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  + 
0 ) ) ) )
6641, 65mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  + 
0 ) ) )
6739, 66mpancom 669 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  +  0 ) ) )
68 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ph )
69 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
7069adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
7143, 44relexpsucr 27301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  ->  ( R ^r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  R
) ) )
7268, 70, 71sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( R ^r ( m  + 
1 ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  R ) )
73 coeq2 4993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  R )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) ) )
7438adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  N  e.  CC )
7570nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
76 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
7874, 75, 77addassd 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( N  +  m )  +  1 )  =  ( N  +  ( m  +  1 ) ) )
7978eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( N  +  ( m  +  1
) )  =  ( ( N  +  m
)  +  1 ) )
80 nn0addcl 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  +  m
)  e.  NN0 )
8169, 80sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( N  +  m )  e.  NN0 )
82 coass 5351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  o.  R )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )
83 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
8470adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
8568adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ph )
8683, 84, 85jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) )
87 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) ) )
8887adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) ) )
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) ) )
9086, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )
9190coeq1d 4996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  o.  R )  =  ( ( R ^r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
9282, 91syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( ( R ^r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
93 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( N  +  m )  e.  NN0 )
9443, 44relexpsucr 27301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  m )  e.  NN0  ->  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r ( N  +  m
) )  o.  R
) ) )
9585, 93, 94sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
9692, 95eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
9781, 96mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
98 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  ( R ^r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
9998eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1 ) ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) ) )
10097, 99syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
10179, 100mpcom 36 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
10273, 101sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R ^r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  R
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1 ) ) ) )
10372, 102mpancom 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
104103expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
105104anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
106105impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( ( m  +  1 )  e. 
NN0  /\  ph )  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
107106anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1 ) ) ) )
108107expcom 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
109108expcom 435 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m
) ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) ) )
11010, 19, 28, 37, 67, 109nn0ind 10730 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M
) ) ) )
1111, 110mpcom 36 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M
) ) )
112111anassrs 648 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ph )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) )
113112expcom 435 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   U.cuni 4086    _I cid 4626   dom cdm 4835    |` cres 4837    o. ccom 4839   Rel wrel 4840  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277   NN0cn0 10571   ^rcrelexp 27298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-seq 11799  df-relexp 27299
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