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Theorem relexpadd 27474
Description: Relation composition becomes addition under exponentiation. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpadd.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpadd.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpadd  |-  ( ph  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) ) )

Proof of Theorem relexpadd
Dummy variables  i  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  ->  M  e.  NN0 )
2 eleq1 2523 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
32anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
43anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
5 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r 0 ) )
65coeq2d 5100 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0
) ) )
7 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  ( N  +  i )  =  ( N  + 
0 ) )
87oveq2d 6206 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^r ( N  +  i ) )  =  ( R ^r ( N  + 
0 ) ) )
96, 8eqeq12d 2473 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  + 
0 ) ) ) )
104, 9imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  + 
0 ) ) ) ) )
11 eleq1 2523 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  (
i  e.  NN0  <->  m  e.  NN0 ) )
1211anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) )
1312anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( i  =  m  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
14 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r m ) )
1514coeq2d 5100 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) ) )
16 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  m ) )
1716oveq2d 6206 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  ( R ^r ( N  +  i ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )
1815, 17eqeq12d 2473 . . . . . 6  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) ) )
1913, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) ) ) )
20 eleq1 2523 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 ) )
2120anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
2221anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
23 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )
2423coeq2d 5100 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  +  1 ) ) ) )
25 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  ( m  +  1
) ) )
2625oveq2d 6206 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^r ( N  +  i ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
2724, 26eqeq12d 2473 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
2822, 27imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) ) )
29 eleq1 2523 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  (
i  e.  NN0  <->  M  e.  NN0 ) )
3029anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ph )
) )
3130anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( i  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
32 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  ( R ^r i )  =  ( R ^r M ) )
3332coeq2d 5100 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) ) )
34 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  M ) )
3534oveq2d 6206 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  ( R ^r ( N  +  i ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) )
3633, 35eqeq12d 2473 . . . . . 6  |-  ( i  =  M  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) ) )
3731, 36imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( i  =  M  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r i ) )  =  ( R ^r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) ) ) )
38 nn0cn 10690 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
3938adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) )  ->  N  e.  CC )
40 addid1 9650 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  0 )  =  N )
4140adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( N  + 
0 )  =  N )
42 simprrr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ph )
43 relexpadd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Rel  R )
44 relexpadd.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
4543, 44relexp0 27465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
4642, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
47 coeq2 5096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
48 coires1 5453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ^r N )  |`  U. U. R
)
49 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5043, 44relexpdm 27471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R ) )
5142, 49, 50sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  dom  ( R ^r N ) 
C_  U. U. R )
5242adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ph )
53 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5443, 44relexprel 27470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  Rel  ( R ^r N ) ) )
5552, 53, 54sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  Rel  ( R ^r N ) )
56 relssres 5245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Rel  ( R ^r N )  /\  dom  ( R ^r N )  C_  U. U. R )  ->  (
( R ^r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^r N ) )
5756adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( R ^r N )  /\  ( dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^r N ) )
5855, 57mpancom 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( R ^r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^r N ) )
5951, 58mpancom 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^r N ) )
6048, 59syl5eq 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R ^r N ) )
6147, 60sylan9eq 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r N ) )
6246, 61mpancom 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r N ) )
63 oveq2 6198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  ( R ^r ( N  +  0 ) )  =  ( R ^r N ) )
6463eqeq2d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  +  0 ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r N ) ) )
6562, 64syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  (
( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  + 
0 ) ) ) )
6641, 65mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  + 
0 ) ) )
6739, 66mpancom 669 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r 0 ) )  =  ( R ^r ( N  +  0 ) ) )
68 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ph )
69 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
7069adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
7143, 44relexpsucr 27466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  ->  ( R ^r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  R
) ) )
7268, 70, 71sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( R ^r ( m  + 
1 ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  R ) )
73 coeq2 5096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  R )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) ) )
7438adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  N  e.  CC )
7570nn0cnd 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
76 ax-1cn 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
7874, 75, 77addassd 9509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( N  +  m )  +  1 )  =  ( N  +  ( m  +  1 ) ) )
7978eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( N  +  ( m  +  1
) )  =  ( ( N  +  m
)  +  1 ) )
80 nn0addcl 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  +  m
)  e.  NN0 )
8169, 80sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( N  +  m )  e.  NN0 )
82 coass 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  o.  R )  =  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )
83 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
8470adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
8568adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ph )
8683, 84, 85jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) )
87 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) ) )
8887adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) ) )
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) ) )
9086, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )
9190coeq1d 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  o.  R )  =  ( ( R ^r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
9282, 91syl5eqr 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( ( R ^r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
93 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( N  +  m )  e.  NN0 )
9443, 44relexpsucr 27466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  m )  e.  NN0  ->  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r ( N  +  m
) )  o.  R
) ) )
9585, 93, 94sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
9692, 95eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
9781, 96mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
98 oveq2 6198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  ( R ^r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
9998eqeq2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  (
( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1 ) ) )  <->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) ) )
10097, 99syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
10179, 100mpcom 36 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( ( R ^r m )  o.  R ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
10273, 101sylan9eq 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R ^r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^r m )  o.  R
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1 ) ) ) )
10372, 102mpancom 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
104103expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
105104anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
106105impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( ( m  +  1 )  e. 
NN0  /\  ph )  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
107106anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1 ) ) ) )
108107expcom 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
109108expcom 435 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r m ) )  =  ( R ^r ( N  +  m
) ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) ) )
11010, 19, 28, 37, 67, 109nn0ind 10839 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M
) ) ) )
1111, 110mpcom 36 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M
) ) )
112111anassrs 648 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ph )  ->  (
( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) )
113112expcom 435 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( R ^r N )  o.  ( R ^r M ) )  =  ( R ^r ( N  +  M ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068    C_ wss 3426   U.cuni 4189    _I cid 4729   dom cdm 4938    |` cres 4940    o. ccom 4942   Rel wrel 4943  (class class class)co 6190   CCcc 9381   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386   NN0cn0 10680   ^rcrelexp 27463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-seq 11908  df-relexp 27464
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