Theorem relexp1g 13166

Description: A relation composed once is itself. (Contributed by RP, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp1g	|- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )

Proof of Theorem relexp1g

Dummy variables n r x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-relexp 13161	. . 3 |- ^r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) , ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) ) )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( R e. V -> ^r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) , ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) ) ) )
3		simprr 774	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> n = 1 )
4		ax-1ne0 9626	. . . . . . 7 |- 1 =/= 0
5		neeq1 2705	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( n =/= 0 <-> 1 =/= 0 ) )
6	4, 5	mpbiri 241	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> n =/= 0 )
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> n =/= 0 )
8	7	neneqd 2648	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> -. n = 0 )
9	8	iffalsed 3883	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> if ( n = 0 , ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) , ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) ) = ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) )
10		simprl 772	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> r = R )
11	10	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> ( z e. _V |-> r ) = ( z e. _V |-> R ) )
12	11	seqeq3d 12259	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) = seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> R ) ) )
13	12, 3	fveq12d 5885	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) = ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> R ) ) ` 1 ) )
14		1z 10991	. . . 4 |- 1 e. ZZ
15		eqidd 2472	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> ( z e. _V |-> R ) = ( z e. _V |-> R ) )
16		eqidd 2472	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) /\ z = 1 ) -> R = R )
17		1ex 9656	. . . . . 6 |- 1 e. _V
18	17	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> 1 e. _V )
19		simpl 464	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> R e. V )
20	15, 16, 18, 19	fvmptd 5969	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> ( ( z e. _V |-> R ) ` 1 ) = R )
21	14, 20	seq1i 12265	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> R ) ) ` 1 ) = R )
22	9, 13, 21	3eqtrd 2509	. 2 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> if ( n = 0 , ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) , ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) ) = R )
23		elex 3040	. 2 |- ( R e. V -> R e. _V )
24		1nn0 10909	. . 3 |- 1 e. NN0
25	24	a1i 11	. 2 |- ( R e. V -> 1 e. NN0 )
26	2, 22, 23, 25, 23	ovmpt2d 6443	1 |- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   u. cun 3388   ifcif 3872   |-> cmpt 4454   _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   o. ccom 4843   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   0cc0 9557   1c1 9558   NN0cn0 10893   seqcseq 12251   ^r crelexp 13160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-relexp 13161

This theorem is referenced by:  dfid5  13167  dfid6  13168  relexpsucr  13169  relexp1d  13171  relexpsucnnl  13172  relexpsucl  13173  relexpcnv  13175  relexprelg  13178  relexpnndm  13181  relexpfld  13189  relexpaddnn  13191  relexpaddg  13193  dfrcl3  36338  relexp2  36340  iunrelexp0  36365  relexpxpnnidm  36366  corclrcl  36370  iunrelexpmin1  36371  trclrelexplem  36374  iunrelexpmin2  36375  relexp01min  36376  relexp0a  36379  relexpaddss  36381  dftrcl3  36383  cotrcltrcl  36388  trclimalb2  36389  trclfvdecomr  36391  dfrtrcl3  36396  corcltrcl  36402  cotrclrcl  36405