MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexp1g Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem relexp1g 13082
Description: A relation composed once is itself. (Contributed by RP, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexp1g  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  1 )  =  R )

Proof of Theorem relexp1g
Dummy variables  n  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-relexp 13077 . . 3  |- ^r 
=  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  V  -> ^r 
=  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n ) ) ) )
3 simprr 765 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  n  =  1 )
4 ax-1ne0 9605 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
5 neeq1 2685 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
n  =/=  0  <->  1  =/=  0 ) )
64, 5mpbiri 237 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  n  =/=  0 )
73, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  n  =/=  0 )
87neneqd 2628 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  -.  n  =  0 )
98iffalsed 3891 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n ) )
10 simprl 763 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  r  =  R )
1110mpteq2dv 4489 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  (
z  e.  _V  |->  r )  =  ( z  e.  _V  |->  R ) )
1211seqeq3d 12218 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) )  =  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) )
1312, 3fveq12d 5869 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  r ) ) `
 n )  =  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  R ) ) `  1
) )
14 1z 10964 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
15 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  (
z  e.  _V  |->  R )  =  ( z  e.  _V  |->  R ) )
16 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  /\  z  =  1 )  ->  R  =  R )
17 1ex 9635 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  1  e.  _V )
19 simpl 459 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  R  e.  V )
2015, 16, 18, 19fvmptd 5952 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  (
( z  e.  _V  |->  R ) `  1
)  =  R )
2114, 20seq1i 12224 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  R ) ) `
 1 )  =  R )
229, 13, 213eqtrd 2488 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( r  =  R  /\  n  =  1 ) )  ->  if ( n  =  0 ,  (  _I  |`  ( dom  r  u.  ran  r ) ) ,  (  seq 1 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  r ) ) `  n
) )  =  R )
23 elex 3053 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
24 1nn0 10882 . . 3  |-  1  e.  NN0
2524a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  1  e.  NN0 )
262, 22, 23, 25, 23ovmpt2d 6421 1  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   _Vcvv 3044    u. cun 3401   ifcif 3880    |-> cmpt 4460    _I cid 4743   dom cdm 4833   ran crn 4834    |` cres 4835    o. ccom 4837   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    |-> cmpt2 6290   0cc0 9536   1c1 9537   NN0cn0 10866    seqcseq 12210   ^r crelexp 13076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-seq 12211  df-relexp 13077
This theorem is referenced by:  dfid5  13083  dfid6  13084  relexpsucr  13085  relexp1d  13087  relexpsucnnl  13088  relexpsucl  13089  relexpcnv  13091  relexprelg  13094  relexpnndm  13097  relexpfld  13105  relexpaddnn  13107  relexpaddg  13109  dfrcl3  36261  relexp2  36263  iunrelexp0  36288  relexpxpnnidm  36289  corclrcl  36293  iunrelexpmin1  36294  trclrelexplem  36297  iunrelexpmin2  36298  relexp01min  36299  relexp0a  36302  relexpaddss  36304  dftrcl3  36306  cotrcltrcl  36311  trclimalb2  36312  trclfvdecomr  36314  dfrtrcl3  36319  corcltrcl  36325  cotrclrcl  36328
  Copyright terms: Public domain W3C validator