Users' Mathboxes Mathbox for Drahflow < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexp1 Structured version   Unicode version

Theorem relexp1 27467
Description: A relation composed once is itself. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexp1.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexp1.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexp1  |-  ( ph  ->  ( R ^r 1 )  =  R )

Proof of Theorem relexp1
StepHypRef Expression
1 1e0p1 10884 . 2  |-  1  =  ( 0  +  1 )
2 oveq2 6198 . . 3  |-  ( 1  =  ( 0  +  1 )  ->  ( R ^r 1
)  =  ( R ^r ( 0  +  1 ) ) )
3 0nn0 10695 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
4 relexp1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Rel  R )
5 relexp1.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
64, 5relexpsucr 27466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  NN0  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( ( R ^r 0 )  o.  R
) ) )
73, 6mpi 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( ( R ^r 0 )  o.  R
) )
84, 5relexp0 27465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
9 coeq1 5095 . . . . . 6  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^r 0
)  o.  R )  =  ( (  _I  |`  U. U. R )  o.  R ) )
10 relcoi2 5463 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
R  ->  ( (  _I  |`  U. U. R
)  o.  R )  =  R )
114, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  U. U. R )  o.  R
)  =  R )
129, 11sylan9eq 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  /\  ph )  -> 
( ( R ^r 0 )  o.  R )  =  R )
138, 12mpancom 669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R ^r 0 )  o.  R )  =  R )
147, 13eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  R )
152, 14sylan9eq 2512 . 2  |-  ( ( 1  =  ( 0  +  1 )  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  R )
161, 15mpan 670 1  |-  ( ph  ->  ( R ^r 1 )  =  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   U.cuni 4189    _I cid 4729    |` cres 4940    o. ccom 4942   Rel wrel 4943  (class class class)co 6190   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386   NN0cn0 10680   ^rcrelexp 27463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-seq 11908  df-relexp 27464
This theorem is referenced by:  relexpsucl  27468  rtrclreclem.subset  27481
  Copyright terms: Public domain W3C validator