Users' Mathboxes Mathbox for Drahflow < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexp1 Structured version   Unicode version

Theorem relexp1 28379
Description: A relation composed once is itself. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexp1.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexp1.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexp1  |-  ( ph  ->  ( R ^r 1 )  =  R )

Proof of Theorem relexp1
StepHypRef Expression
1 1e0p1 10993 . 2  |-  1  =  ( 0  +  1 )
2 oveq2 6283 . . 3  |-  ( 1  =  ( 0  +  1 )  ->  ( R ^r 1
)  =  ( R ^r ( 0  +  1 ) ) )
3 0nn0 10799 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
4 relexp1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Rel  R )
5 relexp1.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
64, 5relexpsucr 28378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  NN0  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( ( R ^r 0 )  o.  R
) ) )
73, 6mpi 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  ( ( R ^r 0 )  o.  R
) )
84, 5relexp0 28377 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
9 coeq1 5151 . . . . . 6  |-  ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^r 0
)  o.  R )  =  ( (  _I  |`  U. U. R )  o.  R ) )
10 relcoi2 5526 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
R  ->  ( (  _I  |`  U. U. R
)  o.  R )  =  R )
114, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  U. U. R )  o.  R
)  =  R )
129, 11sylan9eq 2521 . . . . 5  |-  ( ( ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  /\  ph )  -> 
( ( R ^r 0 )  o.  R )  =  R )
138, 12mpancom 669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R ^r 0 )  o.  R )  =  R )
147, 13eqtrd 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R ^r ( 0  +  1 ) )  =  R )
152, 14sylan9eq 2521 . 2  |-  ( ( 1  =  ( 0  +  1 )  /\  ph )  ->  ( R ^r 1 )  =  R )
161, 15mpan 670 1  |-  ( ph  ->  ( R ^r 1 )  =  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   U.cuni 4238    _I cid 4783    |` cres 4994    o. ccom 4996   Rel wrel 4997  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   NN0cn0 10784   ^rcrelexp 28375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-seq 12064  df-relexp 28376
This theorem is referenced by:  relexpsucl  28380  rtrclreclem.subset  28393
  Copyright terms: Public domain W3C validator