MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexp0rel Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem relexp0rel 13112
Description: The exponentiation of a class to zero is a relation. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexp0rel  |-  ( R  e.  V  ->  Rel  ( R ^r 
0 ) )

Proof of Theorem relexp0rel
StepHypRef Expression
1 relres 5135 . 2  |-  Rel  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )
2 relexp0g 13097 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
32releqd 4922 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  ( Rel  ( R ^r 
0 )  <->  Rel  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
41, 3mpbiri 237 1  |-  ( R  e.  V  ->  Rel  ( R ^r 
0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1889    u. cun 3404    _I cid 4747   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   Rel wrel 4842  (class class class)co 6295   0cc0 9544   ^r crelexp 13095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-mulcl 9606  ax-i2m1 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-n0 10877  df-relexp 13096
This theorem is referenced by:  relexprelg  13113  relexpaddg  13128
  Copyright terms: Public domain W3C validator