Theorem relexp0eq 36364

Description: The zeroth power of relationships is the same if and only if the union of their domain and ranges is the same. (Contributed by RP, 11-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp0eq	|- ( ( A e. U /\ B e. V ) -> ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> ( A ^r 0 ) = ( B ^r 0 ) ) )

Proof of Theorem relexp0eq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexp0g 13162	. . 3 |- ( A e. U -> ( A ^r 0 ) = ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) )
2		relexp0g 13162	. . 3 |- ( B e. V -> ( B ^r 0 ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) )
3	1, 2	eqeqan12d 2487	. 2 |- ( ( A e. U /\ B e. V ) -> ( ( A ^r 0 ) = ( B ^r 0 ) <-> ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) ) )
4		dfcleq 2465	. . . 4 |- ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
5		alcom 1940	. . . . 5 |- ( A. y A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
6		19.3v 1821	. . . . 5 |- ( A. y A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
7		ax6ev 1815	. . . . . . . . 9 |- E. y y = x
8		pm5.5 343	. . . . . . . . 9 |- ( E. y y = x -> ( ( E. y y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( E. y y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
10		19.23v 1826	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( E. y y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
11		19.3v 1821	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
12	9, 10, 11	3bitr4ri 286	. . . . . . 7 |- ( A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. y ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
13		pm5.32 648	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( ( y = x /\ x e. ( dom A u. ran A ) ) <-> ( y = x /\ x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
14		ancom 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = x /\ x e. ( dom A u. ran A ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) )
15		ancom 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = x /\ x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) )
16	14, 15	bibi12i 322	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y = x /\ x e. ( dom A u. ran A ) ) <-> ( y = x /\ x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
17	13, 16	bitri 257	. . . . . . . 8 |- ( ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
18	17	albii 1699	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
19	12, 18	bitri 257	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
20	19	albii 1699	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
21	5, 6, 20	3bitr3i 283	. . . 4 |- ( A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
22	4, 21	bitri 257	. . 3 |- ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
23		eqopab2b 4731	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) } = { <. x , y >. | ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) } <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
24		opabresid 5164	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) } = ( _I |` ( dom A u. ran A ) )
25		opabresid 5164	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) } = ( _I |` ( dom B u. ran B ) )
26	24, 25	eqeq12i 2485	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) } = { <. x , y >. | ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) } <-> ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) )
27	22, 23, 26	3bitr2i 281	. 2 |- ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) )
28	3, 27	syl6rbbr 272	1 |- ( ( A e. U /\ B e. V ) -> ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> ( A ^r 0 ) = ( B ^r 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   u. cun 3388   {copab 4453   _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841  (class class class)co 6308   0cc0 9557   ^r crelexp 13160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-mulcl 9619  ax-i2m1 9625

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-n0 10894  df-relexp 13161

This theorem is referenced by:  iunrelexp0  36365