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Theorem relexp0eq 36364
Description: The zeroth power of relationships is the same if and only if the union of their domain and ranges is the same. (Contributed by RP, 11-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexp0eq  |-  ( ( A  e.  U  /\  B  e.  V )  ->  ( ( dom  A  u.  ran  A )  =  ( dom  B  u.  ran  B )  <->  ( A ^r  0 )  =  ( B ^r  0 ) ) )

Proof of Theorem relexp0eq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relexp0g 13162 . . 3  |-  ( A  e.  U  ->  ( A ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )
2 relexp0g 13162 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( B ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  B  u.  ran  B
) ) )
31, 2eqeqan12d 2487 . 2  |-  ( ( A  e.  U  /\  B  e.  V )  ->  ( ( A ^r  0 )  =  ( B ^r 
0 )  <->  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  =  (  _I  |`  ( dom  B  u.  ran  B
) ) ) )
4 dfcleq 2465 . . . 4  |-  ( ( dom  A  u.  ran  A )  =  ( dom 
B  u.  ran  B
)  <->  A. x ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )
5 alcom 1940 . . . . 5  |-  ( A. y A. x ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. x A. y ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )
6 19.3v 1821 . . . . 5  |-  ( A. y A. x ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. x
( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B
) ) )
7 ax6ev 1815 . . . . . . . . 9  |-  E. y 
y  =  x
8 pm5.5 343 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  y  =  x  ->  ( ( E. y  y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )  <->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. y  y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )  <->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )
10 19.23v 1826 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )  <->  ( E. y  y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B
) ) ) )
11 19.3v 1821 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )
129, 10, 113bitr4ri 286 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. y
( y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) ) )
13 pm5.32 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  x  -> 
( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B
) ) )  <->  ( (
y  =  x  /\  x  e.  ( dom  A  u.  ran  A ) )  <->  ( y  =  x  /\  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) ) )
14 ancom 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  x  /\  x  e.  ( dom  A  u.  ran  A ) )  <->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x ) )
15 ancom 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  x  /\  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) )
1614, 15bibi12i 322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  x  /\  x  e.  ( dom  A  u.  ran  A ) )  <->  ( y  =  x  /\  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )  <-> 
( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) ) )
1713, 16bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  x  -> 
( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B
) ) )  <->  ( (
x  e.  ( dom 
A  u.  ran  A
)  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) ) )
1817albii 1699 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )  <->  A. y
( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) ) )
1912, 18bitri 257 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. y
( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) ) )
2019albii 1699 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom 
B  u.  ran  B
)  /\  y  =  x ) ) )
215, 6, 203bitr3i 283 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom 
B  u.  ran  B
)  /\  y  =  x ) ) )
224, 21bitri 257 . . 3  |-  ( ( dom  A  u.  ran  A )  =  ( dom 
B  u.  ran  B
)  <->  A. x A. y
( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) ) )
23 eqopab2b 4731 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) }  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom 
B  u.  ran  B
)  /\  y  =  x ) ) )
24 opabresid 5164 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( dom 
A  u.  ran  A
)  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  ( dom 
A  u.  ran  A
) )
25 opabresid 5164 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( dom 
B  u.  ran  B
)  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  ( dom 
B  u.  ran  B
) )
2624, 25eqeq12i 2485 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) }  <->  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  =  (  _I  |`  ( dom  B  u.  ran  B
) ) )
2722, 23, 263bitr2i 281 . 2  |-  ( ( dom  A  u.  ran  A )  =  ( dom 
B  u.  ran  B
)  <->  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A
) )  =  (  _I  |`  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )
283, 27syl6rbbr 272 1  |-  ( ( A  e.  U  /\  B  e.  V )  ->  ( ( dom  A  u.  ran  A )  =  ( dom  B  u.  ran  B )  <->  ( A ^r  0 )  =  ( B ^r  0 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    u. cun 3388   {copab 4453    _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841  (class class class)co 6308   0cc0 9557   ^r crelexp 13160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-mulcl 9619  ax-i2m1 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-n0 10894  df-relexp 13161
This theorem is referenced by:  iunrelexp0  36365
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