Theorem relexp0eq 36305

Description: The zeroth power of relationships is the same if and only if the union of their domain and ranges is the same. (Contributed by RP, 11-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp0eq	|- ( ( A e. U /\ B e. V ) -> ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> ( A ^r 0 ) = ( B ^r 0 ) ) )

Proof of Theorem relexp0eq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexp0g 13097	. . 3 |- ( A e. U -> ( A ^r 0 ) = ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) )
2		relexp0g 13097	. . 3 |- ( B e. V -> ( B ^r 0 ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) )
3	1, 2	eqeqan12d 2469	. 2 |- ( ( A e. U /\ B e. V ) -> ( ( A ^r 0 ) = ( B ^r 0 ) <-> ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) ) )
4		dfcleq 2447	. . . 4 |- ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
5		alcom 1925	. . . . 5 |- ( A. y A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
6		19.3v 1815	. . . . 5 |- ( A. y A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
7		ax6ev 1809	. . . . . . . . 9 |- E. y y = x
8		pm5.5 338	. . . . . . . . 9 |- ( E. y y = x -> ( ( E. y y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( E. y y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
10		19.23v 1820	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( E. y y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
11		19.3v 1815	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
12	9, 10, 11	3bitr4ri 282	. . . . . . 7 |- ( A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. y ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
13		pm5.32 642	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( ( y = x /\ x e. ( dom A u. ran A ) ) <-> ( y = x /\ x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
14		ancom 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = x /\ x e. ( dom A u. ran A ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) )
15		ancom 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = x /\ x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) )
16	14, 15	bibi12i 317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y = x /\ x e. ( dom A u. ran A ) ) <-> ( y = x /\ x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
17	13, 16	bitri 253	. . . . . . . 8 |- ( ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
18	17	albii 1693	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
19	12, 18	bitri 253	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
20	19	albii 1693	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
21	5, 6, 20	3bitr3i 279	. . . 4 |- ( A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
22	4, 21	bitri 253	. . 3 |- ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
23		eqopab2b 4734	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) } = { <. x , y >. | ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) } <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
24		opabresid 5161	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) } = ( _I |` ( dom A u. ran A ) )
25		opabresid 5161	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) } = ( _I |` ( dom B u. ran B ) )
26	24, 25	eqeq12i 2467	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) } = { <. x , y >. | ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) } <-> ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) )
27	22, 23, 26	3bitr2i 277	. 2 |- ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) )
28	3, 27	syl6rbbr 268	1 |- ( ( A e. U /\ B e. V ) -> ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> ( A ^r 0 ) = ( B ^r 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1444   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   u. cun 3404   {copab 4463   _I cid 4747   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839  (class class class)co 6295   0cc0 9544   ^r crelexp 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-mulcl 9606  ax-i2m1 9612

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-n0 10877  df-relexp 13096

This theorem is referenced by:  iunrelexp0  36306