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Theorem relexp0eq 36305
Description: The zeroth power of relationships is the same if and only if the union of their domain and ranges is the same. (Contributed by RP, 11-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexp0eq  |-  ( ( A  e.  U  /\  B  e.  V )  ->  ( ( dom  A  u.  ran  A )  =  ( dom  B  u.  ran  B )  <->  ( A ^r  0 )  =  ( B ^r  0 ) ) )

Proof of Theorem relexp0eq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relexp0g 13097 . . 3  |-  ( A  e.  U  ->  ( A ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A
) ) )
2 relexp0g 13097 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( B ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  B  u.  ran  B
) ) )
31, 2eqeqan12d 2469 . 2  |-  ( ( A  e.  U  /\  B  e.  V )  ->  ( ( A ^r  0 )  =  ( B ^r 
0 )  <->  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  =  (  _I  |`  ( dom  B  u.  ran  B
) ) ) )
4 dfcleq 2447 . . . 4  |-  ( ( dom  A  u.  ran  A )  =  ( dom 
B  u.  ran  B
)  <->  A. x ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )
5 alcom 1925 . . . . 5  |-  ( A. y A. x ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. x A. y ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )
6 19.3v 1815 . . . . 5  |-  ( A. y A. x ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. x
( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B
) ) )
7 ax6ev 1809 . . . . . . . . 9  |-  E. y 
y  =  x
8 pm5.5 338 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  y  =  x  ->  ( ( E. y  y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )  <->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. y  y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )  <->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )
10 19.23v 1820 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )  <->  ( E. y  y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B
) ) ) )
11 19.3v 1815 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )
129, 10, 113bitr4ri 282 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. y
( y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) ) )
13 pm5.32 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  x  -> 
( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B
) ) )  <->  ( (
y  =  x  /\  x  e.  ( dom  A  u.  ran  A ) )  <->  ( y  =  x  /\  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) ) )
14 ancom 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  x  /\  x  e.  ( dom  A  u.  ran  A ) )  <->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x ) )
15 ancom 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  x  /\  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) )
1614, 15bibi12i 317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  x  /\  x  e.  ( dom  A  u.  ran  A ) )  <->  ( y  =  x  /\  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )  <-> 
( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) ) )
1713, 16bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  x  -> 
( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B
) ) )  <->  ( (
x  e.  ( dom 
A  u.  ran  A
)  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) ) )
1817albii 1693 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )  <->  A. y
( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) ) )
1912, 18bitri 253 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. y
( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) ) )
2019albii 1693 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom 
B  u.  ran  B
)  /\  y  =  x ) ) )
215, 6, 203bitr3i 279 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  <->  x  e.  ( dom  B  u.  ran  B ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom 
B  u.  ran  B
)  /\  y  =  x ) ) )
224, 21bitri 253 . . 3  |-  ( ( dom  A  u.  ran  A )  =  ( dom 
B  u.  ran  B
)  <->  A. x A. y
( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) ) )
23 eqopab2b 4734 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) }  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x )  <->  ( x  e.  ( dom 
B  u.  ran  B
)  /\  y  =  x ) ) )
24 opabresid 5161 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( dom 
A  u.  ran  A
)  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  ( dom 
A  u.  ran  A
) )
25 opabresid 5161 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( dom 
B  u.  ran  B
)  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  ( dom 
B  u.  ran  B
) )
2624, 25eqeq12i 2467 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( dom  A  u.  ran  A )  /\  y  =  x ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  ( dom  B  u.  ran  B )  /\  y  =  x ) }  <->  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  =  (  _I  |`  ( dom  B  u.  ran  B
) ) )
2722, 23, 263bitr2i 277 . 2  |-  ( ( dom  A  u.  ran  A )  =  ( dom 
B  u.  ran  B
)  <->  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A
) )  =  (  _I  |`  ( dom  B  u.  ran  B ) ) )
283, 27syl6rbbr 268 1  |-  ( ( A  e.  U  /\  B  e.  V )  ->  ( ( dom  A  u.  ran  A )  =  ( dom  B  u.  ran  B )  <->  ( A ^r  0 )  =  ( B ^r  0 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1444    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889    u. cun 3404   {copab 4463    _I cid 4747   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839  (class class class)co 6295   0cc0 9544   ^r crelexp 13095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-mulcl 9606  ax-i2m1 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-n0 10877  df-relexp 13096
This theorem is referenced by:  iunrelexp0  36306
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