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Theorem relexp0 25082
Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexp0.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexp0.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexp0  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )

Proof of Theorem relexp0
Dummy variables  r  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relexp0.2 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2 uniexg 4665 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  U. R  e.  _V )
3 uniexg 4665 . . . 4  |-  ( U. R  e.  _V  ->  U.
U. R  e.  _V )
4 resiexg 5147 . . . . 5  |-  ( U. U. R  e.  _V  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
5 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (
r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) )
6 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  0 )  ->  r  =  R )
76adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  r  =  R )
8 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  n  = 
0 )
9 0z 10249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
10 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
11 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  /\  z  =  0 )  ->  (  _I  |`  U. U. R )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
12 c0ex 9041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  _V
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  0  e.  _V )
14 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  (  _I  |` 
U. U. R )  e. 
_V )
1510, 11, 13, 14fvmptd 5769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  ( (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) `  0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
169, 15seq1i 11292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) ` 
0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
18 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
n  =  0  <->  0  =  0 ) )
1918anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (
( R  =  R  /\  n  =  0 )  <->  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) ) )
2019anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) ) ) )
21 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) ` 
0 ) )
2221eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  <->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
2317, 20, 223imtr4d 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
248, 23mpcom 34 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
2524a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
26 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
r  =  R  <->  R  =  R ) )
2726anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  0 )  <->  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) ) )
2827anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  0 ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) ) ) )
29 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  0  =  0 )
30 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  _V  =  _V )
31 coeq2 4990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
x  o.  r )  =  ( x  o.  R ) )
3230, 30, 31mpt2eq123dv 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) )
33 unieq 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
3433unieqd 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
3534reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (  _I  |`  U. U. r
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3635mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
3729, 32, 36seqeq123d 11287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
3837fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n ) )
3938eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  n )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  <->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
4025, 28, 393imtr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  n )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
417, 40mpcom 34 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
421adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  R  e.  _V )
43 0nn0 10192 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  0  e.  NN0 )
45 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
465, 41, 42, 44, 45ovmpt2d 6160 . . . . . 6  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
47 df-relexp 25081 . . . . . . 7  |-  ^ r  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )
48 oveq 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^
r 0 )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 ) )
4948eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
5049imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
5147, 50ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
5246, 51mpbir 201 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
534, 52sylan 458 . . . 4  |-  ( ( U. U. R  e. 
_V  /\  ph )  -> 
( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
543, 53sylan 458 . . 3  |-  ( ( U. R  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
552, 54sylan 458 . 2  |-  ( ( R  e.  _V  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
561, 55mpancom 651 1  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   U.cuni 3975    e. cmpt 4226    _I cid 4453    |` cres 4839    o. ccom 4841   Rel wrel 4842   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   0cc0 8946   NN0cn0 10177    seq cseq 11278   ^ rcrelexp 25080
This theorem is referenced by:  relexp1  25084  relexpsucl  25085  relexpcnv  25086  relexpdm  25088  relexprn  25089  relexpadd  25091  relexpindlem  25092  rtrclreclem.refl  25097  rtrclreclem.min  25100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-seq 11279  df-relexp 25081
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