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Theorem relexp0 27329
Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexp0.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexp0.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexp0  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )

Proof of Theorem relexp0
Dummy variables  r  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relexp0.2 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2 uniexg 6375 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  U. R  e.  _V )
3 uniexg 6375 . . . 4  |-  ( U. R  e.  _V  ->  U.
U. R  e.  _V )
4 resiexg 6512 . . . . 5  |-  ( U. U. R  e.  _V  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
5 eqidd 2442 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (
r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) )
6 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  0 )  ->  r  =  R )
76adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  r  =  R )
8 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  n  = 
0 )
9 0z 10655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
10 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
11 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  /\  z  =  0 )  ->  (  _I  |`  U. U. R )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
12 c0ex 9378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  _V
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  0  e.  _V )
14 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  (  _I  |` 
U. U. R )  e. 
_V )
1510, 11, 13, 14fvmptd 5777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  ( (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) `  0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
169, 15seq1i 11818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
18 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
n  =  0  <->  0  =  0 ) )
1918anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (
( R  =  R  /\  n  =  0 )  <->  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) ) )
2019anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) ) ) )
21 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) ` 
0 ) )
2221eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
2317, 20, 223imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
248, 23mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
2524a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
26 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
r  =  R  <->  R  =  R ) )
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  0 )  <->  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) ) )
2827anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  0 ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) ) ) )
29 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  0  =  0 )
30 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  _V  =  _V )
31 coeq2 4996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
x  o.  r )  =  ( x  o.  R ) )
3230, 30, 31mpt2eq123dv 6146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) )
33 unieq 4097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
3433unieqd 4099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
3534reseq2d 5108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (  _I  |`  U. U. r
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3635mpteq2dv 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
3729, 32, 36seqeq123d 11813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) )  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
3837fveq1d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n ) )
3938eqeq1d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
4025, 28, 393imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
417, 40mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
421adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  R  e.  _V )
43 0nn0 10592 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  0  e.  NN0 )
45 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
465, 41, 42, 44, 45ovmpt2d 6216 . . . . . 6  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
47 df-relexp 27328 . . . . . . 7  |-  ^r  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )
48 oveq 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^r 0 )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 ) )
4948eqeq1d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^r 0
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
5049imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^r 0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  ( ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph )  ->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) )
5147, 50ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^r 0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  ( ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph )  ->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
5246, 51mpbir 209 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^r 0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
534, 52sylan 471 . . . 4  |-  ( ( U. U. R  e. 
_V  /\  ph )  -> 
( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
543, 53sylan 471 . . 3  |-  ( ( U. R  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^r 0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
552, 54sylan 471 . 2  |-  ( ( R  e.  _V  /\  ph )  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
561, 55mpancom 669 1  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2970   U.cuni 4089    e. cmpt 4348    _I cid 4629    |` cres 4840    o. ccom 4842   Rel wrel 4843   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   0cc0 9280   NN0cn0 10577    seqcseq 11804   ^rcrelexp 27327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-seq 11805  df-relexp 27328
This theorem is referenced by:  relexp1  27331  relexpsucl  27332  relexpcnv  27333  relexpdm  27335  relexprn  27336  relexpadd  27338  relexpindlem  27339  rtrclreclem.refl  27344  rtrclreclem.min  27347
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