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Theorem relexp0 28524
Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexp0.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexp0.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexp0  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )

Proof of Theorem relexp0
Dummy variables  r  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relexp0.2 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2 uniexg 6579 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  U. R  e.  _V )
3 uniexg 6579 . . . 4  |-  ( U. R  e.  _V  ->  U.
U. R  e.  _V )
4 resiexg 6717 . . . . 5  |-  ( U. U. R  e.  _V  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
5 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (
r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) )
6 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  0 )  ->  r  =  R )
76adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  r  =  R )
8 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  n  = 
0 )
9 0z 10871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
10 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
11 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  /\  z  =  0 )  ->  (  _I  |`  U. U. R )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
12 c0ex 9586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  _V
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  0  e.  _V )
14 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  (  _I  |` 
U. U. R )  e. 
_V )
1510, 11, 13, 14fvmptd 5953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  ( (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) `  0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
169, 15seq1i 12084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
18 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
n  =  0  <->  0  =  0 ) )
1918anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (
( R  =  R  /\  n  =  0 )  <->  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) ) )
2019anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) ) ) )
21 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) ` 
0 ) )
2221eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
2317, 20, 223imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
248, 23mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
2524a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
26 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
r  =  R  <->  R  =  R ) )
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  0 )  <->  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) ) )
2827anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  0 ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) ) ) )
29 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  0  =  0 )
30 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  _V  =  _V )
31 coeq2 5159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
x  o.  r )  =  ( x  o.  R ) )
3230, 30, 31mpt2eq123dv 6341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) )
33 unieq 4253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
3433unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
3534reseq2d 5271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (  _I  |`  U. U. r
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3635mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
3729, 32, 36seqeq123d 12079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) )  =  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
3837fveq1d 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n ) )
3938eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
4025, 28, 393imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
417, 40mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
421adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  R  e.  _V )
43 0nn0 10806 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  0  e.  NN0 )
45 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
465, 41, 42, 44, 45ovmpt2d 6412 . . . . . 6  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
47 df-relexp 28523 . . . . . . 7  |-  ^r  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )
48 oveq 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^r 0 )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 ) )
4948eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^r 0
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <-> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
5049imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( ^r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^r 0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  ( ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph )  ->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) )
5147, 50ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^r 0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  ( ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph )  ->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq 0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
5246, 51mpbir 209 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^r 0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
534, 52sylan 471 . . . 4  |-  ( ( U. U. R  e. 
_V  /\  ph )  -> 
( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
543, 53sylan 471 . . 3  |-  ( ( U. R  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^r 0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
552, 54sylan 471 . 2  |-  ( ( R  e.  _V  /\  ph )  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
561, 55mpancom 669 1  |-  ( ph  ->  ( R ^r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505    _I cid 4790    |` cres 5001    o. ccom 5003   Rel wrel 5004   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   0cc0 9488   NN0cn0 10791    seqcseq 12070   ^rcrelexp 28522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-seq 12071  df-relexp 28523
This theorem is referenced by:  relexp1  28526  relexpsucl  28527  relexpcnv  28528  relexpdm  28530  relexprn  28531  relexpadd  28533  relexpindlem  28534  rtrclreclem.refl  28539  rtrclreclem.min  28542
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