MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmtpos Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem reldmtpos 6981
Description: Necessary and sufficient condition for  dom tpos  F to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmtpos  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  -.  (/)  e.  dom  F )

Proof of Theorem reldmtpos
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4535 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21eldm 5032 . . . 4  |-  ( (/)  e.  dom  F  <->  E. y (/) F y )
3 vex 3048 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
4 brtpos0 6980 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  ( (/)tpos  F y  <->  (/) F y ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)tpos  F y  <->  (/) F y )
6 0nelxp 4862 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
7 df-rel 4841 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  dom tpos  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
8 ssel 3426 . . . . . . . . 9  |-  ( dom tpos  F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  ( (/)  e.  dom tpos  F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
) )
97, 8sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
dom tpos  F  ->  ( (/)  e.  dom tpos  F  ->  (/)  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
106, 9mtoi 182 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
dom tpos  F  ->  -.  (/)  e.  dom tpos  F )
111, 3breldm 5039 . . . . . . 7  |-  ( (/)tpos  F y  ->  (/)  e.  dom tpos  F )
1210, 11nsyl3 123 . . . . . 6  |-  ( (/)tpos  F y  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
135, 12sylbir 217 . . . . 5  |-  ( (/) F y  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
1413exlimiv 1776 . . . 4  |-  ( E. y (/) F y  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
152, 14sylbi 199 . . 3  |-  ( (/)  e.  dom  F  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
1615con2i 124 . 2  |-  ( Rel 
dom tpos  F  ->  -.  (/)  e.  dom  F )
17 vex 3048 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
1817eldm 5032 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom tpos  F  <->  E. y  xtpos  F y )
19 relcnv 5207 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  `' dom  F
20 df-rel 4841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel  `' dom  F  <->  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V ) )
2119, 20mpbi 212 . . . . . . . . . 10  |-  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V )
2221sseli 3428 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  `' dom  F  ->  x  e.  ( _V 
X.  _V ) )
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  ( x  e.  `' dom  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
24 elsni 3993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
2524breq1d 4412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  ( xtpos  F y  <->  (/)tpos  F y ) )
261, 3breldm 5039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/) F y  ->  (/)  e.  dom  F )
2726pm2.24d 138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/) F y  ->  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  x  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
285, 27sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)tpos  F y  ->  ( -.  (/) 
e.  dom  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
2925, 28syl6bi 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  ( xtpos  F y  -> 
( -.  (/)  e.  dom  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) ) )
3029com3l 84 . . . . . . . . 9  |-  ( xtpos 
F y  ->  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  ( x  e.  { (/)
}  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) ) )
3130impcom 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  ( x  e. 
{ (/) }  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
32 brtpos2 6979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  _V  ->  (
xtpos  F y  <->  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { x } F
y ) ) )
333, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( xtpos 
F y  <->  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { x } F
y ) )
3433simplbi 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( xtpos 
F y  ->  x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )
35 elun 3574 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  <-> 
( x  e.  `' dom  F  \/  x  e. 
{ (/) } ) )
3634, 35sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( xtpos 
F y  ->  (
x  e.  `' dom  F  \/  x  e.  { (/)
} ) )
3736adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  ( x  e.  `' dom  F  \/  x  e.  { (/) } ) )
3823, 31, 37mpjaod 383 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
)
3938ex 436 . . . . . 6  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  -> 
( xtpos  F y  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) )
4039exlimdv 1779 . . . . 5  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  -> 
( E. y  xtpos 
F y  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
4118, 40syl5bi 221 . . . 4  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  -> 
( x  e.  dom tpos  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) )
4241ssrdv 3438 . . 3  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  dom tpos  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
4342, 7sylibr 216 . 2  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
4416, 43impbii 191 1  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  -.  (/)  e.  dom  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371   E.wex 1663    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   Rel wrel 4839  tpos ctpos 6972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-fv 5590  df-tpos 6973
This theorem is referenced by:  dmtpos  6985
  Copyright terms: Public domain W3C validator