MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmtpos Structured version   Unicode version

Theorem reldmtpos 6955
Description: Necessary and sufficient condition for  dom tpos  F to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmtpos  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  -.  (/)  e.  dom  F )

Proof of Theorem reldmtpos
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4569 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21eldm 5189 . . . 4  |-  ( (/)  e.  dom  F  <->  E. y (/) F y )
3 vex 3109 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
4 brtpos0 6954 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  ( (/)tpos  F y  <->  (/) F y ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)tpos  F y  <->  (/) F y )
6 0nelxp 5016 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
7 df-rel 4995 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  dom tpos  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
8 ssel 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( dom tpos  F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  ( (/)  e.  dom tpos  F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
) )
97, 8sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
dom tpos  F  ->  ( (/)  e.  dom tpos  F  ->  (/)  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
106, 9mtoi 178 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
dom tpos  F  ->  -.  (/)  e.  dom tpos  F )
111, 3breldm 5196 . . . . . . 7  |-  ( (/)tpos  F y  ->  (/)  e.  dom tpos  F )
1210, 11nsyl3 119 . . . . . 6  |-  ( (/)tpos  F y  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
135, 12sylbir 213 . . . . 5  |-  ( (/) F y  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
1413exlimiv 1727 . . . 4  |-  ( E. y (/) F y  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
152, 14sylbi 195 . . 3  |-  ( (/)  e.  dom  F  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
1615con2i 120 . 2  |-  ( Rel 
dom tpos  F  ->  -.  (/)  e.  dom  F )
17 vex 3109 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
1817eldm 5189 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom tpos  F  <->  E. y  xtpos  F y )
19 relcnv 5362 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  `' dom  F
20 df-rel 4995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel  `' dom  F  <->  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V ) )
2119, 20mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V )
2221sseli 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  `' dom  F  ->  x  e.  ( _V 
X.  _V ) )
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  ( x  e.  `' dom  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
24 elsni 4041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
2524breq1d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  ( xtpos  F y  <->  (/)tpos  F y ) )
261, 3breldm 5196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/) F y  ->  (/)  e.  dom  F )
2726pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/) F y  ->  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  x  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
285, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)tpos  F y  ->  ( -.  (/) 
e.  dom  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
2925, 28syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  ( xtpos  F y  -> 
( -.  (/)  e.  dom  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) ) )
3029com3l 81 . . . . . . . . 9  |-  ( xtpos 
F y  ->  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  ( x  e.  { (/)
}  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) ) )
3130impcom 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  ( x  e. 
{ (/) }  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
32 brtpos2 6953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  _V  ->  (
xtpos  F y  <->  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { x } F
y ) ) )
333, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( xtpos 
F y  <->  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { x } F
y ) )
3433simplbi 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( xtpos 
F y  ->  x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )
35 elun 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  <-> 
( x  e.  `' dom  F  \/  x  e. 
{ (/) } ) )
3634, 35sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( xtpos 
F y  ->  (
x  e.  `' dom  F  \/  x  e.  { (/)
} ) )
3736adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  ( x  e.  `' dom  F  \/  x  e.  { (/) } ) )
3823, 31, 37mpjaod 379 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
)
3938ex 432 . . . . . 6  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  -> 
( xtpos  F y  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) )
4039exlimdv 1729 . . . . 5  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  -> 
( E. y  xtpos 
F y  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
4118, 40syl5bi 217 . . . 4  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  -> 
( x  e.  dom tpos  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) )
4241ssrdv 3495 . . 3  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  dom tpos  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
4342, 7sylibr 212 . 2  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
4416, 43impbii 188 1  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  -.  (/)  e.  dom  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367   E.wex 1617    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   U.cuni 4235   class class class wbr 4439    X. cxp 4986   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   Rel wrel 4993  tpos ctpos 6946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-fv 5578  df-tpos 6947
This theorem is referenced by:  dmtpos  6959
  Copyright terms: Public domain W3C validator