Theorem reldmtpos 6981

Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos F to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmtpos	|- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )

Proof of Theorem reldmtpos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4535	. . . . 5 |- (/) e. _V
2	1	eldm 5032	. . . 4 |- ( (/) e. dom F <-> E. y (/) F y )
3		vex 3048	. . . . . . 7 |- y e. _V
4		brtpos0 6980	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( (/)tpos F y <-> (/) F y ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/)tpos F y <-> (/) F y )
6		0nelxp 4862	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
7		df-rel 4841	. . . . . . . . 9 |- ( Rel dom tpos F <-> dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
8		ssel 3426	. . . . . . . . 9 |- ( dom tpos F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom tpos F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
9	7, 8	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- ( Rel dom tpos F -> ( (/) e. dom tpos F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
10	6, 9	mtoi 182	. . . . . . 7 |- ( Rel dom tpos F -> -. (/) e. dom tpos F )
11	1, 3	breldm 5039	. . . . . . 7 |- ( (/)tpos F y -> (/) e. dom tpos F )
12	10, 11	nsyl3 123	. . . . . 6 |- ( (/)tpos F y -> -. Rel dom tpos F )
13	5, 12	sylbir 217	. . . . 5 |- ( (/) F y -> -. Rel dom tpos F )
14	13	exlimiv 1776	. . . 4 |- ( E. y (/) F y -> -. Rel dom tpos F )
15	2, 14	sylbi 199	. . 3 |- ( (/) e. dom F -> -. Rel dom tpos F )
16	15	con2i 124	. 2 |- ( Rel dom tpos F -> -. (/) e. dom F )
17		vex 3048	. . . . . 6 |- x e. _V
18	17	eldm 5032	. . . . 5 |- ( x e. dom tpos F <-> E. y xtpos F y )
19		relcnv 5207	. . . . . . . . . . 11 |- Rel `' dom F
20		df-rel 4841	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel `' dom F <-> `' dom F C_ ( _V X. _V ) )
21	19, 20	mpbi 212	. . . . . . . . . 10 |- `' dom F C_ ( _V X. _V )
22	21	sseli 3428	. . . . . . . . 9 |- ( x e. `' dom F -> x e. ( _V X. _V ) )
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. `' dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
24		elsni 3993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
25	24	breq1d 4412	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { (/) } -> ( xtpos F y <-> (/)tpos F y ) )
26	1, 3	breldm 5039	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) F y -> (/) e. dom F )
27	26	pm2.24d 138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
28	5, 27	sylbi 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/)tpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
29	25, 28	syl6bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { (/) } -> ( xtpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) ) )
30	29	com3l 84	. . . . . . . . 9 |- ( xtpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> ( x e. { (/) } -> x e. ( _V X. _V ) ) ) )
31	30	impcom 432	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. { (/) } -> x e. ( _V X. _V ) ) )
32		brtpos2 6979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( xtpos F y <-> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { x } F y ) ) )
33	3, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( xtpos F y <-> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { x } F y ) )
34	33	simplbi 462	. . . . . . . . . 10 |- ( xtpos F y -> x e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
35		elun 3574	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) <-> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
36	34, 35	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( xtpos F y -> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
37	36	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
38	23, 31, 37	mpjaod 383	. . . . . . 7 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> x e. ( _V X. _V ) )
39	38	ex 436	. . . . . 6 |- ( -. (/) e. dom F -> ( xtpos F y -> x e. ( _V X. _V ) ) )
40	39	exlimdv 1779	. . . . 5 |- ( -. (/) e. dom F -> ( E. y xtpos F y -> x e. ( _V X. _V ) ) )
41	18, 40	syl5bi 221	. . . 4 |- ( -. (/) e. dom F -> ( x e. dom tpos F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
42	41	ssrdv 3438	. . 3 |- ( -. (/) e. dom F -> dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
43	42, 7	sylibr 216	. 2 |- ( -. (/) e. dom F -> Rel dom tpos F )
44	16, 43	impbii 191	1 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   E.wex 1663   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   u. cun 3402   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   X. cxp 4832   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   Rel wrel 4839  tpos ctpos 6972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-fv 5590  df-tpos 6973

This theorem is referenced by:  dmtpos  6985