MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmmpt2 Structured version   Unicode version

Theorem reldmmpt2 6398
Description: The domain of an operation defined by maps-to notation is a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rngop.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
reldmmpt2  |-  Rel  dom  F
Distinct variable groups:    y, A    x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, y)    C( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem reldmmpt2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmoprab 6372 . 2  |-  Rel  dom  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }
2 rngop.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
3 df-mpt2 6290 . . . . 5  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
42, 3eqtri 2496 . . . 4  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }
54dmeqi 5204 . . 3  |-  dom  F  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
65releqi 5086 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  <->  Rel  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) } )
71, 6mpbir 209 1  |-  Rel  dom  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   dom cdm 4999   Rel wrel 5004   {coprab 6286    |-> cmpt2 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-dm 5009  df-oprab 6289  df-mpt2 6290
This theorem is referenced by:  bropopvvv  6864  supp0prc  6905  reldmmap  7430  reldmsets  14515  reldmress  14544  reldmprds  14707  gsum0  15835  reldmghm  16080  oppglsm  16477  reldmdprd  16843  reldmlmhm  17483  reldmpsr  17821  reldmmpl  17894  reldmopsr  17949  reldmevls  17997  vr1val  18042  reldmevls1  18165  evl1fval  18175  zrhval  18352  reldmdsmm  18571  frlmrcl  18597  matbas0pc  18718  submafval  18888  mdetfval  18895  madufval  18946  qtopres  20026  fgabs  20207  reldmtng  20979  reldmnghm  21046  reldmnmhm  21047  dvbsss  22133  reldmmdeg  22282  clwwlknprop  24545  reldmresv  27576  mzpmfp  30510  mzpmfpOLD  30511
  Copyright terms: Public domain W3C validator