MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmdprd Structured version   Unicode version

Theorem reldmdprd 16596
Description: The domain of the internal direct product operation is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 11-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
reldmdprd  |-  Rel  dom DProd

Proof of Theorem reldmdprd
Dummy variables  g  h  f  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dprd 16594 . 2  |- DProd  =  ( g  e.  Grp , 
s  e.  { h  |  ( h : dom  h --> (SubGrp `  g )  /\  A. x  e.  dom  h ( A. y  e.  ( dom  h  \  {
x } ) ( h `  x ) 
C_  ( (Cntz `  g ) `  (
h `  y )
)  /\  ( (
h `  x )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  g ) ) `  U. ( h " ( dom  h  \  { x } ) ) ) )  =  { ( 0g `  g ) } ) ) } 
|->  ran  ( f  e. 
{ h  e.  X_ x  e.  dom  s ( s `  x )  |  h finSupp  ( 0g `  g ) }  |->  ( g  gsumg  f ) ) )
21reldmmpt2 6306 1  |-  Rel  dom DProd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370   {cab 2437   A.wral 2796   {crab 2800    \ cdif 3428    i^i cin 3430    C_ wss 3431   {csn 3980   U.cuni 4194   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   dom cdm 4943   ran crn 4944   "cima 4946   Rel wrel 4948   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   X_cixp 7368   finSupp cfsupp 7726   0gc0g 14492    gsumg cgsu 14493  mrClscmrc 14635   Grpcgrp 15524  SubGrpcsubg 15789  Cntzccntz 15947   DProd cdprd 16592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-br 4396  df-opab 4454  df-xp 4949  df-rel 4950  df-dm 4953  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-dprd 16594
This theorem is referenced by:  dprddomprc  16599  dprdval0prc  16601  dprdval  16602  dprdvalOLD  16604  dprdgrp  16606  dprdf  16607  dprdcntz  16609  dprddisj  16610  dprdw  16611  dprdwOLD  16617  dprdssv  16623  dprdfeq0  16629  dprdf11  16630  dprdfidOLD  16631  dprdfinvOLD  16633  dprdfaddOLD  16634  dprdfsubOLD  16635  dprdfeq0OLD  16636  dprdf11OLD  16637  dprdres  16642  dprdf1o  16646  subgdmdprd  16648  dmdprdsplitlemOLD  16652  dprddisj2OLD  16655  dprd2da  16658  dmdprdsplit2  16662  dpjfval  16671  dpjidclOLD  16681
  Copyright terms: Public domain W3C validator