MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmdprd Structured version   Unicode version

Theorem reldmdprd 16469
Description: The domain of the internal direct product operation is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 11-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
reldmdprd  |-  Rel  dom DProd

Proof of Theorem reldmdprd
Dummy variables  g  h  f  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dprd 16467 . 2  |- DProd  =  ( g  e.  Grp , 
s  e.  { h  |  ( h : dom  h --> (SubGrp `  g )  /\  A. x  e.  dom  h ( A. y  e.  ( dom  h  \  {
x } ) ( h `  x ) 
C_  ( (Cntz `  g ) `  (
h `  y )
)  /\  ( (
h `  x )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  g ) ) `  U. ( h " ( dom  h  \  { x } ) ) ) )  =  { ( 0g `  g ) } ) ) } 
|->  ran  ( f  e. 
{ h  e.  X_ x  e.  dom  s ( s `  x )  |  h finSupp  ( 0g `  g ) }  |->  ( g  gsumg  f ) ) )
21reldmmpt2 6200 1  |-  Rel  dom DProd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1364   {cab 2427   A.wral 2713   {crab 2717    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   {csn 3874   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839   Rel wrel 4841   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   X_cixp 7259   finSupp cfsupp 7616   0gc0g 14374    gsumg cgsu 14375  mrClscmrc 14517   Grpcgrp 15406  SubGrpcsubg 15668  Cntzccntz 15826   DProd cdprd 16465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-br 4290  df-opab 4348  df-xp 4842  df-rel 4843  df-dm 4846  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-dprd 16467
This theorem is referenced by:  dprddomprc  16472  dprdval0prc  16474  dprdval  16475  dprdvalOLD  16477  dprdgrp  16479  dprdf  16480  dprdcntz  16482  dprddisj  16483  dprdw  16484  dprdwOLD  16490  dprdssv  16496  dprdfeq0  16502  dprdf11  16503  dprdfidOLD  16504  dprdfinvOLD  16506  dprdfaddOLD  16507  dprdfsubOLD  16508  dprdfeq0OLD  16509  dprdf11OLD  16510  dprdres  16515  dprdf1o  16519  subgdmdprd  16521  dmdprdsplitlemOLD  16525  dprddisj2OLD  16528  dprd2da  16531  dmdprdsplit2  16535  dpjfval  16544  dpjidclOLD  16554
  Copyright terms: Public domain W3C validator